Wer kann mir die Ableitungsregeln erklären?

Hallo,

wir haben einen Test geschrieben und ich habe noch einiges falsch oder gar nicht gewusst. Könnte mir vielleicht jemand bei der Lösung helfen?

Answer 1

[evtldocha]

Zu Aufgabe 2) Es gilt immer (a>0)

$e^{\ln\left(a\right)}\ =a$

und folgendes Potenzgesetz

$\left(a^b\right)^{^c}=a^{b\cdot c}$

Damit sind die Aufgaben sofort hingeschrieben:

Aufgabe 2a) Hier ist a = 2

$2^x\ =\left(e^{\ln\left(2\right)}\right)^x=e^{\ln\left(2\right)\cdot x}$

Aufgabe 2b) Hier ist a = 3

$3^{2x}=\left(e^{\ln\left(3\right)}\right)^{^{2x}}=e^{2\ln\left(3\right)\cdot x}$

(Hier gäbe es noch eine andere Variante mit der 9. Kannst Du ja mal überlegen)

Aufgabe 2c) Hier ist a = 10

$200\cdot10^x=200\cdot\left(e^{\ln\left(10\right)}\right)^x=200\cdot e^{\ln\left(10\right)\cdot x}$

Zu Aufgabe 3b) Kettenregel mit der inneren Funktion

$v\left(x\right)=\ln\left(2\right)\cdot x\ \rightarrow\ v'\left(x\right)=\ln\left(2\right)$

Damit ist (ich schreibe Faktoren gerne vorne dran, für "Nachdifferenzieren" sieht es aber erst mal leichter verständlich aus, wenn es hinten nach kommt, darum drehe ich das hier um)

$f'\left(x\right)\ =\ e^{\ln\left(2\right)\cdot x}\cdot\ln\left(2\right)\ =\ln\left(2\right)\cdot e^{\ln\left(2\right)\cdot x}$

Zu Aufgabe 3c) Produktregel mit

$g\left(x\right)=x^3\ \rightarrow\ g'\left(x\right)=3x^2;\ h\left(x\right)\ =\sin\left(x\right)\ \rightarrow\ h'\left(x\right)=\cos\left(x\right)$

Damit ist

$f'\left(x\right)\ =g'\left(x\right)\cdot h\left(x\right)+g\left(x\right)\cdot h'\left(x\right)\ =\ 3x^2\cdot\sin\left(x\right)+x^3\cdot\cos\left(x\right)$ (Hier könnte man noch x² ausklammern - das lass’ ich jetzt aber mal)

Zu Aufgabe 3d) Kettenregel

Innere Funktion ist

$v\left(x\right)=5x-3\ \ \rightarrow\ v'\left(x\right)\ =\ 5$

Damit wird die Ableitung

$f'\left(x\right)=e^{5x-3}\cdot v'\left(x\right)\ =5\cdot e^{5x-3}$

Comments

[XXXXXX77]

Vielen Dank für die ausführlichen Antworten

Answer 2

[Halbrecht]

3b)

ln(2) ist eine Zahl 

daher Kettenregel

f'(x) = ln(2)*e^(ln(2)*x)

.

3d)

auch hier "nur" die Kettenregel

Ableitung von 5x-3 ist 5

f'(x) =5 * e^(5x-3)

.

3c)

Produktregel

u = x³ ..... u' = 3x²

v = sin(x) ..... v' = cos(x)

(über Kreuz mit Plus dazwischen)

f'(x) = x³ * cos(x) + 3x² * sin(x)

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2)

.

Warum ist die Ableitung von e^x auch e^x , wenn doch sonst für Exponentialfkt ln(Basis) * (Basis)^x gilt ? 

weil ln(e) = 1 , denn e^1 = e

.

Drum ist 2 = e^(ln(2) 

Das x noch dran koppeln

e^(ln(2)*x) 

.

bei b) könnte man wegen

3^(2x) = (3^2)^x auch 9^x drausmachen 

.

c)

Der Faktor 200 ist einfach da , man behandelt 10^x wie oben und schreibt die 200 einfach davor 

.