Wenn ich zehn mal würfel, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit innerhalb dieser zehn würfe drei oder mehr sechsen HINTEREINANDER zu werfen?
Um einen Ansatz wäre ich dankbar. Bitte aufpassen: Es geht nicht einfach darum wie viele Sechsen insgesamt geworfen wurden. Sie müssen direkt aufeinander folgen!
3 Antworten
Dazu schaue mal auf diese Webseite :
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/154098,0.html
Da wird eine ähnliche Aufgabe wie die deine abgehandelt.
Schaue dir die Antwort von Cyrix42 auf dieser Webseite an.
Cyrix42 hat mit seiner / ihrer Antwort vollkommen recht, er oder sie hat das mittels einer Rekursionsformel gelöst, eventuell könnte man das auch mittels Sigmazeichen und / oder Produktzeichen als Reihe ausdrücken.
Dazu habe ich aber leider keine Zeit, um das als Reihe umzuschreiben, und weil ich mir nicht einmal sicher bin, ob ich auch alles wirklich verstanden habe.
Woher weiß ich, dass Cyrix42 recht hat ?
Das weiß ich, weil ich ein kleines Computerprogramm geschrieben habe (Monte Carlo Simulation), und innerhalb der Simulationsgenauigkeit bzw. Simulationsungenauigkeit auf dasselbe Ergebnis komme wie Cyrix42
Deshalb weiß ich, dass Cyrix42 recht hat und dass mein Computerprogramm richtig funktioniert.
Ich habe anschließend das Computerprogramm dann auf deine Aufgabe angewendet und komme auf folgendes :
p ≈ 0,0315
Das sind zirka 3,15 % wobei die letzte Ziffer gerundet ist.
P1(6)= 1/6
P2(6)=1/6
P3(6)= 1/6
--> (1/6)³ *8 + (1/6)^4*7 + (1/6)^5*6 + (1/6)^6*5+(1/6)^7*4+(1/6)^8*3+(1/6)^9*2+(1/6)^10
Alternativ kannst du auch das Gegenereignis von 1 abziehen (ist leichter)
Leider nicht richtig.
Die Ereignisfolgen mit über 3 aufeinander folgenden Sechser sind echte Teilmengen derer mit genau 3.
Entweder du betrachtest nur (1/6)³ * 8 oder du schließt für jeden Fall noch explizit aus, dass es nicht noch mehr aufeinanderfolgende Sechser sind. Dann wird es aber eklig, weil du Fallunterscheidungen brauchst, je nachdem ob deine aufeinanderfolgenden Sechser zu Beginn, zum Ende oder in der Mitte eintreten.
Gibt Sinn; als bloßer Abiturient lernt man nicht mehr als das ;)
Kein Problem. Selbst als Mathestudent ist diese Aufgabe - so einfach sie klingt - echt knackig.
Ich habe nach meiner ersten Idee, die offensichtlich falsch und zu einfach war, auch gleich mal R konsultiert und es per Programm in kleineren Fällen versucht, und es dann auf immer mehr Würfelwürfe auszuweiten.
Meine Grundidee bleibt in etwa dieselbe: Die drei aufeinanderfolgenden 6-er können an 8 verschiedenen Positionen sein: 1,2,3 bis 8,9,10. Das Problem ist jetzt, dass man mit dem naiven Ansatz viele Würfelkombinationen mehrfach zählt. Wenn die ersten vier Würfelwürfe alle ne 6 waren, zähl ich mit dem naiven Ansatz diese Kombinationen doppelt, nämlich einmal im Fall 1,2,3 waren ne 6 und 2,3,4 waren ne 6. Man muss also aufpassen, welche Kombinationen man schon gezählt hat und welche nicht.
Wir definieren jetzt mal X_i, i = 1,...,n als eine Zufallsvariable für die erhaltene Augenzahl beim i-ten Wurf. Erstmal setzen wir der Einfachheit halber n = 6. Wie gesagt, ich hab mir zuerst kürzere Fälle angeschaut, damit man besser versteht, was passiert. Jetzt würfeln wir also sechs mal hintereinander und wollen eben wieder die Wahrscheinlichkeit für drei 6-er hintereinander. Die Wahrscheinlichkeit berechnen wir dabei ganz simpel, indem wir die Anzahl der entsprechenden Augenzahlkombinationen bei den sechs Würfen durch die Gesamtanzahl der Augenzahlkombinationen teilen. Gesamtanzahl ist offensichtlich 6^6.
- X_1, X_2, X_3 = 6: Hierfür gibt es offensichtlich 6^3 Anordnungen. Warum? Naja die ersten drei Würfelwürfe liefern nach Voraussetzung eine 6 und die hinteren können irgendwas zeigen. Sie dürfen ja sogar weitere 6-er zeigen, denn deine Fragestellung bezieht sich ja auch mindestens drei 6-er in Folge und nicht genau drei 6-er.
- X_2, X_3, X_4 = 6: Hierfür gibt es natürlich erstmal wieder 6^3 Anordnungen. Diesmal sind der zweite, dritte, vierte Würfelwurf sicher eine 6, dafür weiß ich nicht, was bei den anderen passiert. Jetzt wird es allerdings spannend, denn manche dieser Augenzahlfolgen haben wir bereits gezählt! Aber welche? Naja wir haben die gezählt, bei denen X_1, X_2, X_3 alle 6-er waren. X_2, X_3, X_4 sind nach Voraussetzung 6-er und X_1 eben in diesem speziellen Fall auch, also können lediglich X_5 und X_6 irgendwas anderes angezeigt haben. Das sind genau 6^2 Möglichkeiten, die hier eintreten, ich aber schon gezählt habe! Neue Kombinationen haben wir in diesem Fall also lediglich 6^3 - 6^2.
- X_3, X_4, X_5 = 6: Auch hier generell 6^3 Anordnungen. Welche davon kenn ich schon? Naja entweder die, bei denen X_1 bis X_3 oder X_2 bis X_4 allesamt ne 6 waren. Diese beiden Fälle kann ich aber zusammenfassen in den Fall, dass auf jeden Fall mal X_2 eine 6 gezeigt war. Das ist auf jeden Fall erfüllt, wenn ich die Anordnung schon kenne. Ob X_1 nur auch eine 6 gezeigt hat oder nicht, ist irrelevant. Ich kenne die Kombination so oder so schon. Das heißt X_2 bis X_5 sind 6-er und X_1, X_6 sind irgendwas. Also wieder 6^2 Möglichkeiten, die ich schon gezeigt hatte und somit wieder 6^3 - 6^2 neue Anordnungen.
- X_4, X_5, X_6 = 6: 6^3 Stück allgemein und erneut ist in allen bereits bekannten Kombinationen definitiv X_3 eine 6, denn entweder kenne ich die Kombi schon, weil X_1 bis X_3, X_2 bis X_4 oder X_3 bis X_5 alle 6-er waren. Also kann ich für X_1 und X_2 wieder irgendwas einsetzen und komme erneut auf 6^2 bereits gezählte und damit auf 6^3 - 6^2 neue.
Zusammenfassung: Jetzt einfach alle Kombinationen addieren, also 4*6^3 - 3*6^2 = 756 und tatsächlich spuckt dir auch ein Kombinatorikprogramm diese Zahl aus! Indem du nun noch durch die 6^6 Gesamtkombinationen teilst, landest du bei 0.016, also 1.6 % für drei aufeinanderfolgende 6-er, wenn du sechsmal würfelst.
Zurück zum Fall n = 10. Du fragst dich nun sicher, wieso ich den Fall n = 6 lang und breit erklärt habe und nicht den aus deiner eigentlichen Frage. Der Grund ist, dass es richtig dreckig wird, sobald man öfter als sechs mal würfelt, aber schau selbst:
- X_1, X_2, X_3 = 6: Naja diesmal stecken in X_4 bis X_10 irgendwelche Augenzahlen drin, also 6^7 Kombinationen.
- X_2, X_3, X_4 = 6: Erneut 6^7 Kombinationen allgemein und gezählt haben wir wie im vorherigen Fall nun die, bei denen X_1 eine 6 war. Also stecken nur in X_5 bis X_10 irgendwelche Augenzahlen drin, also müssen wir 6^6 wieder abziehen, weil wir sie schon gezählt haben. Neue Kombinationen somit 6^7 - 6^6.
- X_3, X_4, X_5 = 6: Analog 6^7 - 6^6 neue Kombinationen.
- X_4, X_5, X_6 = 6: Analog 6^7 - 6^6 neue Kombinationen.
- X_5, X_6, X_7 = 6: So und jetzt kommt der erste Problemfall. Wir haben wieder 6^7 Kombinationen allgemein, aber wie viele Kombinationen kennen wir schon? Das Problem ist, dass ich jetzt über 4 Würfelwürfe vor den aufeinander folgenden Sechser haben. Jetzt kann ich nicht mehr wie zuvor sagen: "Haja alle bereits gezählten Kombinationen haben ne 6 an der vierten Stelle, also 6^6 Stück.", denn es gibt jetzt auch den Fall, dass X_1, X_2, X_3 Sechser sind (wir es somit schon gezählt haben), X_4 nicht und dann X_5, X_6, X_7 wieder schon Sechser sind. Das heißt, lediglich X_4, X_8, X_9, X_10 sind irgendwelche Zahlen, also 6^4 Anordnungen. Allerdings können wir jetzt auch nicht sagen, dass wir 6^6 + 6^4 Stück bereits gezählt haben, denn diese beiden Anordnungsmöglichkeiten haben auch wieder eine Schnittmenge, nämlich diejenigen Anordnungen, bei denen X_1 bis X_7 alle eine 6 sind. Das sind 6^3 Möglichkeiten. Wirklich neue Kombinationen haben wir also: 6^7 - (6^6 + 6^4 - 6^3) = 6^7 - 6^6 - 6^4 + 6^3
- X_6, X_7, X_8 = 6; X_7, X_8, X_9 = 6; X_8, X_9, X_10 = 6: Diese Fälle werden jetzt noch widerlicher und seien jetzt mal dir überlassen. Mal schauen, ob du am Ende, wenn du durch 6^10 Gesamtkombinationen teilst, auf die Wahrscheinlichkeit von 0,0315 von DepravedGirl kommst.
Dann kam mir noch eine weitere Idee als Lösungsansatz, die im Fall n = 6 sogar noch simpler ist. Man unterscheidet alle Fälle nach Länge der längsten Kette aufeinanderfolgender Sechser. Dann schaut die Fallunterscheidung so aus:
- 3 aufeinanderfolgende Sechser: Das geht für X_1, X_2, X_3 = 6, X_4 darf keine 6 sein (hat also 5 mögliche Augenzahlen), X_5, X_6 ist irgendwas. Also 5 * 6^2. Für X_2, X_3, X_4 = 6 dürfen sowohl X_1 als auch X_5 keine 6 sein, also haben beide noch 5 Möglichkeiten, während X_6 alles sein darf. Also 5^2 * 6. Analog für X_3, X_4, X_5 = 6 ebenfalls 5^2 * 6 und für X_4, X_5, X_6 = 6 auch 5 * 6^2. Also insgesamt 2 * 5 * 6² + 2 * 5² * 6.
- 4 aufeinanderfolgende Sechser: Dafür gibt es 3 Anordnungen. Wenn die Sechser ganz am Anfang eintreten, darf danach keine 6 folgen. Fall am Ende, darf unmittelbar davor keine 6 gewesen sein. Also jeweils 5 * 6 Kombinationen. Falls X_2, ... , X_5 = 6, dürfen sogar beide keine weiter 6 sein, also 5² Stück. Insgesamt bekommen wir hier: 2 * 5 * 6 + 5²
- 5 aufeinanderfolgende Sechser: Dann darf der eine andere Würfelwurf keine 6 sein, also beide mal 5 Kombinationen und somit insgesamt: 2 * 5.
- 6 aufeinanderfolgende Sechser: Das ist offenbar genau eine Kombination.
In der Tat erhält man in der Summe wieder: 2 * 5 * 6² + 2 * 5² * 6 + 2 * 5 * 6 + 5² + 2 * 5 + 1 = 756.
Das Problem dieser etwas genaueren Fallunterscheidung ist, dass man bei längeren Würfelfolgen auch unterscheiden muss, ob mehrmals so und so viele Sechser auftauchen. Würde man auf diese Weise wieder sagen: "Ha längste Sechserkette ist an den ersten drei Stellen, also 5*6^6 Stück." und spielt das dann weiter so durch, zählt man zum Beispiel nachher noch die Kombination doppelt, bei der noch zusätzlich auch die hinteren 3 Würfelwürfe allesamt eine 6 waren. Und dann wird es wieder extrem ekelhaft.
Danke das du das so weit auseinander genommen hast. Vielleicht setze ich mich noch mal an das Problem wenn ich mal mehr Zeit habe, im Augenblick muss die Rekursionsformel reichen.
Ich bin gerade echt begeistert was für ein komplexes Problem hinter einer scheinbar einfachen Aufgabe steht.
Das ist übrigens keine reine Interessenfrage sondern hat praktische Anwendung. Ich muss für eine Arbeit im ET-Studium einen Sender bauen. Meine Bauteile haben eine untere Grenzfrequenz, müssen also mindestens mit einer bestimmten frequenz betrieben werden. Wenn zweimal der selbe Wert gesendet wird ist das als wenn man mit halber Frequenz gesendet hätte. Ich wollte für eine bestimmte Betriebsdauer wissen mit welcher Wahrscheinlichkeit meine untere Grenzfrequenz unterschritten wird, weil so lange das selbe Signal kommt. In Wahrheit geht es bei meiner Aufgabe also nicht um 10 mal werfen sondern eher Billion mal.
Dabei fällt mir auf das noch ein kleiner Fehler in der Aufgabe ist, da Ketten von NICHT sechs genau so beachtet werden müssen. Naja, nicht weiter wild. Da knobel ich am Wochenende die Rekursionsformel für um.
Danke für den Link und die Überprüfung. Für alle die hier vielleicht noch mal vorbeikommen und das selbe wissen wollen:
Um diese Rekursionsformel geht es:
http://picpaste.de/Unbenannt\_1.png
k...Anzahl Versuche (10)
p...Wahrscheinlichkeit für gesuchten Ausgang (1/6)
n...Anzahl Erfolge hintereinander (3)
Und hier noch mal als praktische C++ Funktion:
https://pastebin.com/AYWLypHL
Sorry für die externen links, aber ich finde weder eine Funktion zum einbinden von Bildern noch kriege ich die code formatierung hier bei gf ordentlich hin.