Welche Steigung hat ein Graph am Wendepunkt?
Wieso setzen wir die zweite Ableitung gleich null ?
6 Antworten
Es gibt viele verschiedene Funktionen, deren Graph einen Wendepunkt hat. Die haben natürlich alle unterschiedliche Steigungen. Die Steigung ist natürlich wie an allen anderen Punkten auch die erste Ableitung.
Ein Wendepunkt ist eine Stelle, wo eine Kurve entlang einer Strecke die Richtung wechselt.
Stellst Dir den Graphen als Strecke vor, die ein Flugzeug abfliegt, sind überall dort Wendepunkte, wo das das Flugzeug von links nach rechts „lenken” muss oder von rechts nach links und die Flügel genau wieder waagerecht sind, wenn es also von der einen in die andere Richtung wendet.
Da exakt am Wendepunkt die Kurve weder links- noch rechtsherum verläuft, also keine Kurve, gleich null, erklärt, warum die Ableitung der Funktion null setzen musst, um die Wendepunkte zu finden.
Die Steigungen dort können, je nach Funktion, recht unterschiedlich sein.
Die erklärung ist nicht ganz richtig! Es hat nichts damit zu tun, dass an dieser stelle die "Kurve gleich null" ist. Es hängt alles von der Steigung ab.
Bedingung für einen Wendepunkt ist f´´(x)=0 und f´´´(x) ungleich Null
siehe Mathe-Formelbuch Kapitel "Funktionen" Kurvendiskussion
1. Schritt : mit f´(x)=0 und f´´´(x) ungleich Null den Wendepunkt ermitteln
2. Schritt : mit m=f´(xw)=0 = .... die Steigung m an der Stelle xw (Wendepunkt ermitteln
3. Schritt : tan(a)=m ergibt (a)=arctan(m) hier ist (a) der Winkel zwischen der Tangente im Wendepunkt und der x-Achse.
Ich erkläre es dir mal anhand eines leichten beispiels:
Nehmen wir eine Normalparabel. Je weiter wir auf die linke seite gehen, desto steiler sinkt der Graph, bis er im Ursprung die Steigung Null hat und anschließend je weiter wir nach rechts gehen, desto höher wird die steigung.
Wenn du die Ableitung grafisch siehst, dann erscheint da eine Gerade, die im negativen bereich (x und y) anfangt, bis er im ursprung seine nullstelle hat und anschließend im positiven bereich steigt.
Und du weißt ja, dass die parabel im ursprung einen Tiefpunkt hat.
Wenn du also die beiden informationen miteinander verknüpfst, kannst du feststellen, dass der Extrempunkt einer Funktion die Nullstelle der Ableitung ist, da in dem Extrempunkt die Steigung gleich Null ist. Das spiegelt sich also nur in der Ableitubg wieder. So ähnlich ist es auch mit den wendepunkten
Ich hoffe die erklärung hilft dir :)
Außerdem viel spaß noch in mathe xD
LG
Um die wenddstelle zu verstehen muss man auch das prinzip der extrema verstehen und was die ableitungen eigentlich über eine funktion aussagen. Sonst ist es ja nur auswendiglernzeugs.
Ok also um dann den wendepunkt zu erklären:
Bei einem polynom 3. Grades kann man es ziemlich deutlich erkennen, denn hier liegt zwischen der rechtskrümmung und linkskrümmung (das hat comment0815 ja gut erklärt) ein wendepunkt. Das wiederum bedeutet, dass die erste Ableitung an dieser stelle einen Hochpunkt hat (wir wissen ja von meiner antwort davor, dass die erste ableitung die steigungen der funktion anzeigt). Dann leitest du die erste Ableitung erneut ab und hast anschließend die zweite Ableitung (xD). Und wir wissen ja, dass in der ersten ableitung die wendestellen als extrema dargestellt werden. Das wiederum bedeutet dass die wendestellen der funktion in der ersten ableitung eine steigung von Null haben. Somit werden diese stellen in der zweiten Ableitung als nullstellen gekennzeichnet, da die anleitung wie vorhin erwähnt die steigung auf einer anderen Art wiederspiegelt.
Deshalb setzt man auch hier die 2. Ableitung gleich 0, da hier die Wendestellen als Nullstellen angezeigt werden (<- Zusammenfassung)
Die erste Ableitung gibt die Steigung an. Dort, wo die Steigung null ist, liegt ein Extrempunkt vor (waagrechte Tangente).
Die zweite Ableitung gibt die Steigung der ersten Ableitung, also die Steigungsänderung (bzw. in Fachsprache: die Krümmung), an. Dort, wo die Steigungsänderung am extremsten ist (also es ein Extrempunkt in der ersten sowie eine Nullstelle in der zweiten Ableitung gibt), liegt ein Wendepunkt vor.
Lies dir die beiden obigen Absätze jetzt bitte noch einmal langsam und in Ruhe durch, dann wirst du es verstehen.
Ist eigentlich kein Hexenwerk. ;)
Hier war nach einer Wendestelle gefragt. Nicht nach einer Extremstelle.