Welche Bedeutung hat es wenn man einen vektor mit sich selbst skalarmultiplziert?
5 Antworten
Du hast dann das "Skalarprodukt"
Beispiel : W=F *S siehe Physik-Formelbuch Kapitel "Arbeit,Kraft,Leistung"
Definition : Die Arbeit ist das Produkt aus der Kraft "F" mal längs des Weges "S"
Zu jeden Zeitpunkt müssen die beiden Vektoren F und S parallel liegen.
Das Ergebnis ist dann ein "Skalar" (eine Zahl) und kein Vektor mehr.
Liegen die Vektoren nicht parallel,dann gilt W= F * S * cos(a)
hier ist (a) der Winkel,den die beiden Vektoren F und S bilden.
also ist F *cos(a) die Komponente von F ,die zu den Vektor S parallel liegt.
rechnest du nun F *F ,dann ist das ein "Skalarprodukt".
Bei der Skalarmultiplikation multipliziert man einen Vektor mit einer reellen Zahl.
Weiter gilt, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren die Multiplikation der Projektion des Vektors -a auf den Vektor b mit dem Betrag von b ist.
Wird ein Vektor v⃗ v→ mit einer reellen Zahl λλ multipliziert, wird jede Komponente des Vektors mit dieser Zahl multipliziert.
λ⋅v⃗ =λ⋅⎛⎝⎜xyz⎞⎠⎟=⎛⎝⎜λ⋅xλ⋅yλ⋅z⎞⎠⎟Multiplizierst du den Vektor hingegen mit sich selbst, erhältst du v•v, also v².
Das Skalarprodukt (Ergebnis) zweier Vektoren ergibt einen skalare Größe und ist definiert durch:
va•vb= a•b•cosa = a1•b1 + a2•b2 + a3•b3
Analog in deinem Fall wäre das:
va•va
Das Ergebnis ist in jedem Fall eine Zahl, kein Vektor.
Ich hoffe, ich konnte helfen.
Wenn du dann wieder die Wurzel ziehst, hast du die Länge des Vektors berechnet.
Hintergrund: Satz des Pythagoras, Flächen- und/oder Raumdiagonale,
Ein Vektor mit sich selbst "skalarmultiplizert" ergibt das Quadrat seiner Länge.
Und wie helft es mir bei Matrizen weiter wenn man zum Beispiel eine Projektionsmatrix bestimmen will?