was sind teleskopische summen und wie berechnet man diese?

Hey, wie berechne ich teleskopsummen ? zB sowas (Bild). Wäre sehr dankbar für eine Erklärung.

(Bild durch den Support entfernt)

Answer 1

[mihisu]

Teleskopsummen sind Summen der Form...

$\sum\limits_{n=m}^{N}\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$

bzw. spezieller (mit 0 als unterem Summationsindex)

$\sum\limits_{n=0}^{N}\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$

Das besondere bei diesen Summen ist, dass sich beim Summieren hintere Teil „- a[n+1]“ eines Summanden mit dem vorderen Teil „a[n]“ des nächsten Summanden gegenseitig wegkürzt, so dass nur noch der vordere Teil des ersten Summanden und der hintere Teil des letzten Summanden übrigbleibt, da alles andere wegfällt.

$\sum\limits_{n=0}^{N}\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$

$=\left(a_0-a_1\right)+\left(a_1-a_2\right)+\left(a_2-a_3\right)+\ldots+\left(a_N-a_{N+1}\right)$

$=a_0\underbrace{{}-a_1+a_1}_{=0}\underbrace{{}-a_2+a_2}_{=0}\underbrace{{}-a_3+\ldots+a_N}_{=0}-a_{N+1}$

$=a_0-a_{N+1}$

Ähnlich wie bei einem Teleskop, welches man zusammenschieben kann, so dass im zusammengeschobenen Zustand nur noch das vordere und hintere Teil sichtbar sind, und die Zwischenteile im Inneren verschwinden, so bleibt auch bei der Teleskopsumme nur noch ein Vorder- und ein Hinterteil übrig. Daher kommt der Name „Teleskopsumme“.

[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Teleskop.svg]

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Im konkreten Fall hat man auch eine Teleskopsumme. Das ist vielleicht etwas einfacher ersichtlich, wenn man ausmultipliziert (also den Faktor √(3) in die Summe zieht) und dann das -√(3)^(n+1) mit dem +√(3)^n tauscht.

$\sqrt{3}\cdot\sum\limits_{n=0}^{7}\left(-\sqrt{3}^n+\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \sqrt{3}^n\right)$

$=\sum\limits_{n=0}^{7}\sqrt{3}\cdot\left(-\sqrt{3}^n+\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \sqrt{3}^n\right)$

$=\sum\limits_{n=0}^{7}\left(-\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}^n+\sqrt{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \sqrt{3}^n\right)$

$=\sum\limits_{n=0}^{7}\left(-\sqrt{3}^{n+1}+\sqrt{3}^n\right)$

$=\sum\limits_{n=0}^{7}\left(\sqrt{3}^n-\sqrt{3}^{n+1}\right)$

$=\sum\limits_{n=0}^{7}\left(\underbrace{\sqrt{3}^n}_{a_{n}}-\underbrace{\sqrt{3}^{n+1}}_{a_{n+1}}\right)$

$\overset{\text{Teleskopsumme}}{=}\overbrace{\sqrt{3}^0}^{a_0}-\overbrace{\sqrt{3}^{7+1}}^{a_{7+1}}$

$=1-\sqrt{3}^{8}$

$=1-3^{\frac{8}{2}}$

$=1-3^4$

$=1-81$

$=-80$

Comments

[verreisterNutzer]

wieso am ende dieses 1- ?

[verreisterNutzer]

@verreisterNutzer

ah habe eben bemerkt, wegen der potenz, danke !!!!!

Answer 2

[evtldocha]

Schreibe ich jetzt nicht ab: https://de.wikipedia.org/wiki/Teleskopsumme

Tipp für Dein konkretes Beispiel:

$-\sqrt[]{3}^n+\frac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{3}^n\ =\ \left(-1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\cdot\sqrt{3}^n\ =$ Und dann hilft noch die Summenformel:

$\sum_{k=0}^nq^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

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