Was sind Äquivalenzklassen?
Hallo, wir haben in der Uni letzte Woche Äquivalenzrelationen besprochen und ich glaub ich hab das soweit auch ganz gut verstanden. Was mit hingegen Probleme bereitet sind die Äquivalenzklassen. Egal wie viele Beispiele und Definitionen ich mir hierzu im INternet anschaue, ich verstehe einfach nicht, was das genau sein soll. Ich hatte gehofft, dass mir hier vielleicht jemand mit einer kurzen Erklärung weiterhelfen kann? Vielen Dank schonmal im vorraus <3
3 Antworten
Eine Äquivalenzklasse bezüglich einer Äquivalenzrelation ist grob gesprochen eine Menge, in der alle Elemente zueinander äquivalent sind. Genauer: Die Äquivalenzklasse von x ist die Menge aller Elemente, die äquivalent zu x sind.
Beispiel: Wir betrachten auf der Menge aller einfarbigen Autos die Äquivalenzrelation ~, die wie folgt definiert wird:
x ~ y genau dann, wenn x und y dieselbe Farbe haben.
Erstmal prüfen wir nach, dass ~ wirklich eine Äquivalenzrelation ist:
Ist x ein einfarbiges Auto, dann hat x dieselbe Farbe wie x. Daher gilt x ~ x (reflexiv).
Sei x ~ y. Dann haben x und y dieselbe Farbe. Damit haben aber auch y und x dieselbe Farbe. Daher gilt auch y ~ x (symmetrisch).
Sei x ~ y und y ~ z. Dann hat x dieselbe Farbe wie y und y hat dieselbe Farbe wie z. Damit hat aber x dieselbe Farbe wie z. Also x ~ z (transitiv).
Nachdem das geklärt ist, können wir uns um die Äquivalenzklassen bzgl ~ kümmern. Für x sei [x] die zugehörige Äquivalenzklasse. Ist x etwa ein rotes Auto, so ist die Äquivalenzklasse [x] die Menge aller Autos, die äquivalent zu x sind, also die Menge aller roten autos.
Entsprechend ist die Äquivalenzklasse von Opas silbernem Audi die Menge
[Opas silberner Audi] = {x | x ist ein silbernes Auto}.
Eine nützliche Beobachtung ist, dass Äquivalenzklassen die "Grundmenge" in disjunkte Teilmengen zerlegen. In diesem Beispiel ist das klar: Ein rotes Auto kann nicht grün sein, da wir nur einfarbige Autos zugelassen haben.
Angenommen, du hast eine Menge M mit einer Äquivalenzrelation. Eine Äquivalenzklasse ist dann eine Teilmenge von M, die sich dadurch auszeichnet, dass alle Elemente der Teilmenge untereinander äquivalent sind.
Jedes Element ist genau in einer solcher Äquivalenzklassen enthalten.
Beispiel: Wenn eine Äquivalenzrelation das "=" ist, dann ist jedes Element nur zu sich selbst äquivalent - die Äquivalenzklassen sind also gerade alle einelementigen Teilmengen.
2 . Beispiel: M ist die Menge aller Schokoteile in einer Celebrationspackung. Zwei Teile heißen äquivalent, wenn sie von der gleichen Sorte sind. Du sortierst jetzt die Teile nach der Sorte und machts Häufchen, auf dem jeweils nur Teile einer Sorte liegen (also nur äquivalente Teile). Dann ist jedes Häufchen eine Äquivalenzklasse.
Vielleicht hilft Dir das weiter?!
http://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzklasse#Anschauliches_Beispiel