Was sagt die Borsuk-Vermutung aus, was ist mit beschränkten Durchmesser und einem echt kleineren Durchmesser gemeint?
1 Antwort
Naja, der "Durchmesser" einer beliebigen Menge ist, wie da steht, das Supremum (die kleinste obere Schranke) der Abstände aller Punkte. Stell dir das an einem Quadrat vor. Dessen Durchmesser ist seine Diagonallänge, was anschaulich Sinn ergibt, wenn du es gedanklich schnell um seinen Mittelpunkt rotieren lässt. Es wird zu einer Kreisscheibe mit dem Durchmesser einer Diagonallänge.
Beschränkt heißt das Ganze, wenn der Durchmesser endlich ist. Stell dir als Menge die reellen Zahlen vor, egal welche obere Schranke S du dir vorgibst, du findest immer ein Paar von Punkten, die weiter als S entfernt sind. In der Betragsnorm zum Beispiel 0 und S+1. R hat also keinen beschränkten Durchmesser.
Wenn der Durchmesser endlich ist, ergibt es Sinn über dessen Größe zu reden. "Echt kleiner" bedeutet nichts anderes als <. Das ist einfach eine syntaktische Verschärfung, um Gleichheit auszuschließen.
Die Vermutung ist nun, dass man im R^n jede beschränkte Menge (also solche mit endlichem Durchmesser) in n+1 Teile zerlegen kann, die alle einen echt kleineren Durchmesser haben. Das ist schwer, anschaulich zu verstehen, da die Vermutung im R^3 wahr, aber in höheren Dimensionen falsch ist.
Ich vermute für eine allgemeine Menge musst du den größten Abstand bestimmen und dann all diese Paare jeweils separieren. Das sollte beim Dodekaeder durch zwei Schnitte irgendwie gehen. Dazu habe ich mir zu wenig Gedanken über das Problem gemacht..
Aber hängt das nicht auch davon ab wie ich die Menge zerteile, oder müssen die Teile gleichgroß sein und dürfen sich nicht überschneiden?
Ich habe nochmal einen anderen Artikel dazu gelesen. Von Gleichheit der Dinger wird nirgendwo gesprochen, überschneiden sollten sich die Mengen glaube ich nicht.
Also in allem unter R^3 ist die wahr, also auch im R^2 und R^1 wie in der Grafik auf der Webseite
Genau. Ich kenne mich aber nicht so aus, für welche Dimension sie falsch ist. Laut Wikipedia für alle ab 64 auf jeden Fall.
Naja, für extrem hohe Dimensionen gibt es anscheinend Gegenbeispiele :)
Ja aber trotzdem braucht es ja irgendwie einen Grund
Wäre es denn zum Beispiel vorstellbar das es bei noch mehr Dimensionen noch komischere Sachen gibt die wieder gegen irgenteine andere Vermutung verstoßen die halt noch nicht bekannt ist weil wir das als zu natürlich wahrnehmen
Was meinst du, es braucht einen Grund? Der Grund, dass es nicht geht, ist das Gegenbeispiel. Einen anschaulichen Grund wirst du schwer finden.
All die Sätze über den R^n, die wir als bewiesen ansehen, haben sich mit der Verallgemeinerung auf alle Werte für n beschäftigt. Das geht manchmal über Induktion, manchmal ist es viel leichter, manchmal sehr schwer.
Gerne :) Interessante Frage übrigens, hab von der Vermutung vorher noch nie gehört.
Wie wären das bei einem Dodekaeder zum Beispiel kann ich denn einfach so in vier gleich große Teile teilen