was passiert denn bei sin, cos, tan wenn winkel90?

Question

hallo, also ich kapier sinus cosinus und tangens, aber ich kapier die definition davon nicht, wenn der winkel größer als 90° ist ...

könnte mir das jemand erklären? (:

claushilbig · Accepted Answer

Wenn man die trigonometrischen Funktionen nicht nur für das rechtwinklige Dreieck definiert und damit auch Winkel > 90° betrachtet werden, dann gilt für Winkel 180° > a > 90°:

sin(a) = sin(180° - a), also z. B. sin(150°) = sin(30°) = 0,5
cos(a) = -(cos(180° - a)), also z. B. cos(120°) = -(cos(60°)) = -0,5
tan(a) = tan(180° - a), also z. B. tan(135°) = tan(45°) = 1
cot(a) = -(cot(180° - a)), also z. B. cot(135°) = -(cot(45°)) = -1
Veranschaulichen lässt sich das gut am Einheitskreis, wie von Volens beschrieben. Wenn Du Dir das genau ansiehst, wirst Du dann selber erkennen können, wie es mit Winkeln 270 > a > 180 und 360 > a > 270 aussieht ...

Volens · Answer

Ich weiß ja nicht, ob dir das mit dem Einheitskreis klar ist.

Du zeichnest ein Korrdinatensystem mit x und y

und darein einen Kreis mit 10 cm Radius (Halbmesser). Den Platz in einem Heft solltest du opfern, und sieh zu, dass du es bequem auf eine Seite Din A4 bekommst. 10 cm sind 1 Dezimeter, in welchem wir ab jetzt rechnen wollen. Die 1 ist dabei die Einheit. Zeichnest du jetzt den Winkel von 30° im Nullpunkt ein, trifft er den Kreis ja irgendwo, wenn du den Schenkel zeichnest. Vom Schnittpunkt aus zeichnest du noch eine Strecke hinunter zur x-Achse. Dann liegt ein schönes Dreieck vor dir.

Du weißt ja, was Sinus alpha ist, die Gegenkathete durch die Hypotenuse. Die Gegenkathete ist die letzte Linie, die zu gezeichnet hast. Sie sollte 0,5 dm = 5 cm lang sein. Wenn du das durch die Hypotenuse teilst, auch wenn das Dreieck scheinbar irgendwie verrutscht ist, hast du

0,5 dm / 1 dm.

Und das ist genau die +0,5 auf dem Taschenrechner bei sin 30°.

OK. Jetzt zeichnest du 30° auf die linke Seite. Wenn du mal nachmisst, sind es 150°, wenn du beim Messen mit derm rechten Teil der x-Achse anfängst. Die Linie auf der linken Seite vom Kreis aus herunter zur x-Achse ist genauso lang wie auf der anderen Seite, auch +0,5.

Ahnst du, wie es weitergeht. Du zeichnest 30° links nach unten, Dann sind es insgesamt schon 210°. Aber die Linie von der x-Achse zeigt nach unten, das nennt man - 0,5.

Und tatsächlich ist sin 210° auf dem Taschenrechner = - 0,5

Du siehst jetzt, wieso, und kannst es dir auch für sin 330° klar machen.

Für die ganzen "Kosinüsse" :-) kannst du es dir nun überlegen. Die Dreeicke sind da.

Wo ist der cos zu finden? Auf der x-Achse natürlich.

1011010 · Answer

http://de.wikipedia.org/wiki/Einheitskreis

sin x = gegenkathete : hypotenuse

im Einheitskreis ist Hypotenuse 1

Also

sin x = gegenkathete : 1

wenn Gegenkathete in den Minusbereich geht, dann ist 270° > x > 90°

jorgang · Answer

Berguss beschreibt die Einschränkung dieser Funktionen als gegeben durch die Dreiecke.
Die genannte Anwendung beschränkt das, aber die Funktionen sind für beliebig große Winkel definiert.
Schau dazu auf

http://de.wikipedia.org/wiki/Trigonometrische_Funktion

und in diesem Artikel dann auf die Links zu

die Sinusfunktion (abgekürzt: sin),
    die Kosinusfunktion (abgekürzt: cos),
    die Tangensfunktion (abgekürzt: tan oder tg)

Dort kannst du sehen, was das bedeutet. In der Physik sind periodische Bewegungen und Verläufe überwiegend mit diesen Funktionen verbunden. Man denke nur an Pendel, und Wechselstrom/spannung.

Berguss · Answer

Sinus, Cosinus und Tanges können nur in einem rechtwinkligen Dreieck angewandt werden. Dadurch, dass es rechtwinklig ist, kann es nicht ein zweites mal 90° haben, da ein Dreieck insgesamt nur 180° haben kann.

was passiert denn bei sin, cos, tan wenn winkel>90?

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