Was ist eine Äquivalenzklasse?
Kann mir jemand ein einfaches Beispiel geben?
3 Antworten
Stell dir vor, du hast einen Haufen bunte Legosteine.
Jetzt kannst du als Äquivalenzrelation definieren, dass zwei Legosteine äquivalent sind, wenn sie die gleiche Farbe haben - dann wäre eine Äquivalenzklasse der Haufen aller roten Legosteine, eine andere der Haufen aller gelben usw. usw. Der Gesamthaufen der Legosteine zerfällt also in die Haufen mit Steinen je einer Farbe.
Genauso kannst du als Äquivalenzrelation definieren, dass zwei Legosteine dann äquivalent sind, wenn sie die gleiche Anzahl Nuppsies haben. Dann zerfällt der Haufen der Legosteine in die Haufen mit Steinen, die alle die gleiche Anzahl Nuppsies haben. Jede Äquivalenzklasse ist dann so ein Haufen.
Was eine Äquivalenzklasse ist, hängt also immer von der betrachten Relation ab.
Letztlich bedeutet das mit den Äquivalenzklassen nichts anderes, als dass du dir eine Eigenschaft der Elemente der Grundmenge heraussuchst, nach der du sortierst, während alle anderen Eigenschaften egal sind.
So kannst du auf der Menge der natürlichen Zahlen z. B. die Äquivalenzrelation nehmen, dass zwei Zahlen äquivalent sind, wenn sie bezüglich der Division durch zwei den selben Rest haben. Dann bekommst du zwei Äquivalenzklassen: Du hast du die Zahlen, die den Rest 0 haben, wenn man sie durch 2 teilt (das sind die geraden Zahlen), und die Zahlen, die den Rest 1 haben (das sind die ungeraden Zahlen).
Du könntest aber auch die Eigenschaft nehmen, dass zwei Zahlen äquivalent sind, wenn sie gleich sind - auch das ist möglich. Dann enthält jede Äquivalenzklasse genau eine einzige Zahl und es gibt so viele Äquivalenzklassen, wie es natürliche Zahlen gibt.
Man kann die Eigenschaften aber nicht völlig beliebig wählen, sonst ist das keine Äquivalenzrelation, sondern es müssen drei Eigenschaften erfüllt sein:
x muss zu sich selbst äquivalent sein. So kann ich z. b. nicht sagen "zwei Zahlen sind äquivalent, wenn die eine echt größer ist als die andere", denn dann wäre eine Zahl nicht zu sich selbst äquivalent.
Wenn x zu y äquivalent ist, dann ist auch y zu x äquivalent. Bei den Legosteinen: Wenn der Stein x dieselbe Farbe hat wie y, dann gilt das auch umgekehrt.
Wenn x zu y äquivalent ist, und y zu z, dann ist auch x zu z äquivalent. Nochmal zu den Legosteinen: wenn der Stein x dieselbe Farbe hat wie der Stein y und der Stein y die selbe Farbe hat wie der Stein z, dann hat auch x dieselbe Farbe wie z. Klar?
Wenn diese Bedingungen erfüllt sind, dann zerfällt die Grundmenge in Äquivalenzklassen, d. h. jedes Element der Grundmenge liegt in genau einer Äquivalenzklasse (jeder Legostein auf genau einem Haufen).
Eine Äquivalenzklasse hast du dann und nur dann, wenn du über Äquivalenzrelationen sprichst.
Das sind also Relationen s.d.
x~x für alle x
x~y => y~x für alle x,y
und (x~y, y~z) => x~z gilt.
Eine Äquivalenzklasse ist dann einfach so definiert: [x]={y|y~x}
Also als alle Elemente, die mit x in Relation stehen.
Einfache Beispiele:
Modulorechnung. Betrachtest du den Z/p={0,1,..,p-1}, dann gilt:
[x]_p={y | x (mod p) = y (mod p)}.
Oder:
Gerade und ungerade Zahlen.
Äquivalenzklassen haben die Eigenschaft, dass sie disjunkt sind und ihre Vereinigungsmenge die gesamte Ausgangsmenge aufspannt.
2,4,6,8,10
Oder
-1, +1
Halt eine Klasse von Elementen die alle die gleiche Relation zueinander haben.
Ohne Äquivalenzrelation kannst Du keine Äquivalenzklasse bilden. Ohne weiteren Kontext sind das keine Beispiele für Äquivalenzklassen.