Was ist die Formel für eine Gläserpyramide?
Ich muss es einfach wissen. Wenn man Gläser stappelt in eine rechteckige Pyramide und die Anzahl der Gläser von einer Seite der untersten Schicht gegeben ist, kann man dafür eine Formel bilden, welche die Anzahl aller Gläser angibt? Ich hab es nun seit ein Monat versucht herraus zu finden und bin langsam mega verzweifelt, ich hoffe, ich habe es verständlich formuliert und mir kann einer helfen.
2 Antworten
Die Basis bestehe aus m x n Gläsern, wobei m <= n sei.
Die nächsthöhere Etage hat dann noch ( m - 1 ) x ( n - 1 ) Gläser.
Das geht so weiter bis eine Etage nur noch 1Glas breit ist:
( m - (m-1) ) x ( n - (m-1) ) = 1 x ( n - m + 1 )
Summieren wir alle Terme auf:
1 x ( n - m + 1 ) + .... + m x n
Das ist gleich
Summe von j = 1 bis m über j x ( n - m + j )
Zerlegen wir das in zwei Teile:
- Summe von j = 1 bis m über j x j = m^3 / 3 + m^2 / 2 + m / 6
- ( n - m ) x Summe von j = 1 bis m über j = ( n - m ) x ( m^2 / 2 + m / 2 )
Zusammen also
m^3 / 3 + m^2 / 2 + m / 6 + ( n - m ) x ( m^2 / 2 + m / 2 )
Bei quadratischen Grundriss (m=n) wird das etwas übersichtlicher:
m^3 / 3 + m^2 / 2 + m / 6
Kann man, wenn man die Gläserzahl in beiden Dimensionen (=Rechteckseiten) kennt. Wie weit bist du denn schon? In jeder Schicht wird die Pyramide in jeder Richtung um ein Glas kürzer, dann musst du die Gläser in Schicht n ausrechnen und aufaddieren, bis zur Schicht, wo eine Rechteckseite die Länge 1 hat. Wo hakt es denn?
Genau, suche mal nach der Formel für eine quadratische Grundfläche. Wenn du die Pyramide in Schichten aufteilst, erhältst du eine Formel der Form "Summe von k = 1 bis n über k^2". Diese Summe ausgewertet ergibt 1/6*n*(n+1)*(2n+1), das ist die Anzahl der Gläser. Zeigen kannst du den letzten Schritt über vollständige Induktion oder auch direkt, indem du k^2 = Summe von j=1 bis k über (2j-1) benutzt.