Was ist der Unterschied zwischen Wahrheit und Beweisbarkeit?

Ok, Schritt für Schritt. Ein formales System besteht aus einem Kalkül. Das Kalkül ermöglicht es, Aussagen mit bestimmten Wahrheitswerten zu belegen. Ein Satz wird als w a h r betrachtet, wenn er in der jeweiligen Interpretation des Systems gilt.

B e w e i s b a r hingegen ist ein Satz, der sich aus genau definierten Axiomen und Schlussregeln syntaktisch Schritt für Schritt herleiten lässt.

Ein wesentlicher Unterschied zwischen Wahrheit und Beweisbarkeit ist somit, dass Wahrheit von der Interpretation abhängt, während Beweisbarkeit sich strikt auf die formalen Regeln und Axiome des Systems stützt.

In der Aussagenlogik fallen jedoch Wahrheit und Beweisbarkeit zusammen, da ein Satz genau dann wahr ist, wenn er auch beweisbar ist.

Unwissenschaftlich ausgedrückt, können Sachverhalte oder Behauptungen auch wahr sein, wenn sie nicht beweisbar sind. Das betrifft insbesonderen negierte Behauptungen, wie: Es gibt keinen Gott. Schwierig zu beweisen, aber für aufgeklärte Menschen in gewissem Rahmen wahr. Gleichzeitig bleibt aber außerhalb dieses Rahmes eine Ungewissheit. Dort gilt die Aussage nicht, aber nicht automatisch ihr Gegenteil.