Was genau ist ein Logarithmus, und wofür braucht man ihn?
Hallo, ich hätte eine Frage, und zwar: Was ist ein Logarithmus und wo wird er benutzt? Wozu braucht man ihn im realen Leben?
Die Definitionen die ich z.B. auf Wikipedia gefunden habe, raff ich einfach nicht. Könnte mir jemand helfen? Achja, bitte keine Links zu irgendwelchen Websites.
7 Antworten
Die meisten von euch mussten sicher schon Gleichungen oder sogar ganze Gleichungssysteme lösen. Dabei hatte man z.B. eine Gleichung der Form 2 + 5x = 0 nach x aufzulösen. Dies wurde durch Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division gelöst. Aber angenommen, ihr sollt y = 2x nach x auflösen. Was dann? Die Lösung lautet: Logarithmus anwenden Schauen wir uns noch einmal das Beispiel von eben an: y = 2x. Diese Gleichung soll nun nach x aufgelöst werden. Wir logarithmieren aus diesem Grund die Gleichung. Dies schaut wie folgt aus:
y = 2x | logarithmieren log2y = x
Wie bei jeder Gleichung gilt: Was man links macht, muss man auch rechts machen. Somit wird der Logarithmus auf beiden Seiten angewendet. log2y = x bedeutet: Der Logarithmus von y zu Basis 2 ist gleich x. Ihr müsst Euch also folgendes überlegen: Welche Hochzahl x benötige ich, mit der die Zahl 2 potenziert werden muss, damit man y erhält. Das Beispiel von eben hat den Zweierlogarithmus gezeigt, denn die Basis war eine 2. Es folgt die allgemeine Gleichung, dann schauen wir uns ein paar Beispiele zum besseren Verständnis an.
Allgemein gilt: y = logax <=> x = ay
Beispiele: log216 = 4, denn 24 = 16 log21024 = 10, denn 210 = 1024 Natürlicher Logarithmus: Hat man die Basis e, so führt dies zum natürlichen Logarithmus. Dies sieht dann zum Beispiel so aus: y = logex. Dafür existiert auch eine abgekürzte Schreibweise y = lnx. Welche Schreibweise ihr bevorzugt, ist euch überlassen ( oder wird vom Mathematik-Lehrer vorgegeben ). Merke: logex = lnx
Dekadischer Logarithmus: Hat man hingegen die Basis 10, führt dies zum dekadischen Logarithmus oder auch Zehnerlogarithmus genannt. Die Form: y = log10r. Auch hier existiert eine Abkürzung: lg r. Merke: log10r = lgr
Wegen der fehlenden Tief- und Hochstellungen ist dieser Beitrag unlesbar und damit eigentlich nutzlos.
Die Gleichung y = logax <=> x = ay
kann nur der verstehen, der sich erstens in Mathe und zweitens im Gedankenlesen auskennt und dazu drei Augen hat, die er dann alle zudrücken kann, wenn er antworten möchte.
zitat meines mathelerher auf meiner damaligen schule:
"der logarithmus ist eine hochzahl"
z.b: 2^x = 4
dann machste : log2(x) = 4
ausgesprochen: logarithmus von x zur basis 2 ergbit 4
somit rechnest du x aus...in dem beispiel wäre x = 2.
A. Viel Wichtiges steht im Beitrag von rose798computer. Nur ist leider verloren gegangen, welche der Zahlen tief gesetzt sein sollen. Das ist aber wesentlich. Aber da schafft jedes Mathebuch Abhilfe, die bloße Schreibweise ist nicht schwer zu lernen, denke ich.
B. Praktisches Beispiel aus der Biologie: Bakterien teilen sich ungefähr alle 20 Minuten, wenn es ihnen gut geht. Du hast eine Flüssigkeit (Nährbouillon), in denen sich die Bakterien so vermehren können. Am Anfang sind es nur 10 Bakterien. Wie lange dauert es, bis es mehr als eine Million sind?
Lösung:
Die Gleichung für das Bakterienwachstum im Beispiel lautet:
y = 10 * 2^(3t), wobei t die Zeit in Stunden ist.
Also hast du zu lösen:
1000 000 < 10 * 2^(3t) ; |: 10 > 0
100 000 < 2^(3t).
100 000 < 2^(3t).; | ln
ln (100 000) < ln 2^(3t) = 3t * ln 2;
Wesentlich ist die Logarithmen-Rechenregel ln (a^b) = b * ln (a); ohne die kämest du an das t im Exponenten "dran", d.h. ohne Logarithmus wäre die Gleichung überhaupt nicht zu lösen. Weiter:
ln (100 000) < ln 2^(3t) = 3t * ln 2; | : ln2 > 0; | : 3 > 0
ln (100 000) / (3 * ln (2) ) = 5,536 ...< t,
d.h. nach 5 Stunden und 33 Minuten haben die Bakterien bei ungestörtem Wachstum bereits die Millionengrenze überschritten.
In der Gleichung a^b = c beantwortet die Wurzel bei gegebenen b und c die Frage, wie groß a ist. Der Logarithmus beantwortet bei gegeben a und c die Frage, wie groß b ist.
Beispiele außerhalb der Mathematik:
Bei Verschlüsselungsverfahren wird oft die Schlüssellänge als Qualitätskriterium herangezogen. Interessant ist aber eigentlich die Anzahl der möglichen Schlüssel, da ja diese dazu führt, dass ein Angreifer viele Versuche unternehmen muss, um eine Verschlüsselte Botschaft zu entschlüsseln. Die Schlüssellänge ist der Logarithmus der Anzahl der möglichen Schlüssel zur Basis 2.
Bel ist eine Maßeinheit für den quotienten zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Dabei wird nicht der Quotient selbst angegeben, sondern der Logarithmus des Quotienten. Bekannt ist Bel nur indirekt, nämlich als deziBel, also der zehnte Teil eines Bel.
Der pH-Wert ist der "negative dekadische Logarithmus der Hydroniumionenkonzentration".
Zusammengefasst werden Logarithmen oft dort verwendet, wo Verhältnisse angegeben werden, weil Verhältnisse multipliziert werden können indem die Logarithmen addiert werden.
Der dekadische Logarithmus zählt die Anzahl der Stellen einer Zahl im Dezimalsystem. So ungefähr jedenfalls. Ganz genau ist es bei Zehnerpotenzen. Da zählt der dekadische Logarithmus die Anzahl der Nullen hinter der 1:
lg 1 = 0
lg 10 = 1
lg 100 = 2
lg 1000 = 3
Da kann man schon folgende Gesetzmäßigkeit ableiten:
lg (a·b) = lg a + lg b für Zehnerpotenzen a und b.
Übersetzt: Multipliziert man zwei Zehnerpotenzen, so addieren sich die Anzahlen der Nullen hinter den Einsen.
Der Logarithmus ist nun eine Verallgemeinerung dieser Gesetzmäßigkeit auf alle (reellen) Zahlen. Beispiel:
1000 ≈ 1024 = 2·2·...·2·2 = 2^10
lg 1000 ≈ lg 1024 = lg 2 + lg 2 + ... + lg 2 + lg 2 = 10·lg 2
3 ≈ 10·lg 2
0,3 ≈ lg 2