Warum nähern sich alle möglichen Ergebnisse einen Würfels zahlenmäßig nach immer weiterer Zunahme der Würfe an?
Also nach 10.000 Würfen sind alle Augen 1-6 fast gleich verteilt gekommen. Aber warum ? Ich denke das Glücksspiel hat kein Gedächtnis und die Würfe sind unabhängig voneinander ?
3 Antworten
Das folgt aus dem sogenannten Gesetz der Großen Zahlen, dessen Beweis ich hier mal skizziere: (Ja, Beweis. Es ist kein Naturgesetz oder so was einem Würfel vorschreibt was er tun muss)
Wir betrachten hier nur die Verteilung der Einsen:
Sei X einen Zufallvariable, die mit Wahrscheinlichkeit p=1/6 den Wert 1 hat, und sonst den Wert 0. Die beschreibt bei einem Wurf, ob eine 1 gekommen ist oder nicht.
Seien nun X_1, X_2, ... X_n unabhängige Realisierungen dieser Zufallsvariable.
Sei nun Y = (X_1 + ... X_n)/n also der Durchschnitt der Zufallsvariablen.
Dann gilt nach der Tchebyscheff Ungleichung: P(|Y-E(Y)| < e) <= Var(Y)/e^2 für ein beliebiges e>0
E(Y) ist gleich p, Var(Y) = 1/n * p * (1-p) (das folgt beides aus den Eigenschaften der Binomialverteilung, des Erwartungswerte und der Varianz)
Somit gilt: P(|Y-E(Y)| < e) <= p*(1-p)/(n*e^2) für beliebige e>0.
Die obere Schranke geht somit gegen 0, wenn n gegen unendlich geht, P(|Y-E(Y)| < e) geht also auch gegen 0.
Somit in Worten: die Wahrscheinlichkeit, dass die relative Häufigkeit von der tatsächlichen häufigkeit um einen bestimmten Wert abweicht, wobei man den Zufallsversuch mehrfach wiederholt, geht gegen 0, wenn die Anzahl der Durchläufe gegen unendlich geht.
Also nein, es gibt keinen "Statistischen Ausgleich". Das was beim Roulette vorher passiert, ist der Roulettekugel vollkommen egal. Nur weil vorher 10 mal rot kommt, hat die Kugel nicht plötzlich die Pflicht, schwarz zu zeigen, die Wahrscheinlichkeit bleibt immer noch gleich.Große Abweichungen von der Wahrscheinlichkeit sind einfach nur sehr unwahrscheinlich, wenn du es oft durchführst.
Der Fragesteller will halteider nicht akzeptieren, dass die Vorherigen Ergebnisse beim Roulette keinen Einfluss auf die nächsten hat und dass es keinen "statistischen" Ausgleich gibt.
Der Fragesteller will halteider nicht akzeptieren [...]
Muss er/sie das? Gibt es ein Gesetz dazu? Ich denke jeder Mensch hat das Grundrecht, gegen die Realität anzukämpfen. Ich nutze meinen Verstand lieber dafür, zu verhindern, dass solche Menschen an die Regierung kommen.
Muss er/sie das?
Würde ihm zumindest nicht schaden, wenn man den Fragenverlauf anschaut, wo es deutlich wird, dass er spielsüchtig ist.
wenn man den Fragenverlauf anschaut
hab ich eben nachgeholt. Ergebnis: eine halbe Stunde verschwendete Zeit :-(
Ich frage hier die Schlaumeier. Die sollen sich jetzt mal rechtfertigen.
Ich frage die Pfeifen die mir einreden wollen [...]
Also gut, dann legen wir los:
In der Praxis werden bei 10000 Würfen alle Zahlen ziemlich gleichverteilt kommen, also jede etwa 1600 bis 1700 Mal. Das kann man zigtausend Mal ausprobieren oder im Computer simulieren. Ist halt so. Da sind wir uns wohl einig.
Und warum ist das so? Hier sind verschiedene Ansätze denkbar:
- Es gibt eine höhere Macht, die für ausgleichende Gerechtigkeit sorgt.
- In den Würfeln sitzen kleine grüne Männchen, die sich absprechen.
- Die Regierung verteilt Nanobots, die Dich das nur so wahrnemen lassen.
- ...
- Die einzelnen Würfe sind zufällig und stochastisch unabhängig.
Mathematiker setzen auf 5 – ohne Beweis, nur als pure Arbeitshypothese. Denn damit kann man prima rechnen und die Ergebnisse sind hervorragend praxistauglich: Von den denkbaren 6^10000 Ergebnissen liegen 99,9999999...% im grünen Bereich (also jede Zahl etwa 1600 bis 1700 Mal), und je mehr Würfe Du machst, desto unwahrscheinlicher wird es, ein Ausreißer-Ergebnis zu erhalten.
Die Rechnungen dazu sind trivial (von den riesigen Zahlen mal abgesehen) und die Ergebnisse haben sich seit Jahrhunderten bewährt. Deshalb kann ich Hypothese 5 jedem, der die Realität verstehen will, nur wärmstens ans Herz legen.
Punkt 5 ist doch kein Grund WARUM das so ist. Du sagst nur, DAS es so ist.
Gerade WENN alle Würfe zufällig und unabhängig voneinander sind, ist es doch umso wunderlicher, dass am Ende fast alles gleich verteilt auftritt.
Punkt 5 ist doch kein Grund WARUM das so ist. Du sagst nur, DAS es so ist.
Doch, genau das ist der Grund. Siehe meine Antwort, die ganzen Schritte funktionieren NUR wegen der Unabhängigkeit. Wären die würfe stochastisch abhängig, würde das Gesetz der Großen Zahlen nicht halten. Bzw nur wenn bestimmte anderen Bedingungen erfüllt sind.
Wenn es unabhängig voneinander ist, warum kommt kommt dann jede Zahl fast gleich häufig und nicht extremst unterschiedlich oft ?
Warum kann die 6 nicht 200 Mal kommen in tausend Würfen und die 2 nur 70 Mal ?
Wenn es unabhängig voneinander ist, warum kommt kommt dann jede Zahl fast gleich häufig und nicht extremst unterschiedlich oft ?
Siehe meine Antwort . Immer noch.
Warum kann die 6 nicht 200 Mal kommen in tausend Würfen und die 2 nur 70 Mal ?
Das kann vorkommen. Es ist nur sehr unwahrscheinlich. Hab ich dir auch schon gesagt.
stell dir vor, du wirfst nur ein einziges Mal, dann kommt nur die eine Zahl dran und alle anderen fünf gar nicht. Erst wenn du sechs Mal geworfen hast wäre es überhaupt möglich dass alle Zahlen von 1-6 einmal dran gekommen sind, vielleicht wird es so verständlicher.
Ja klar. Sechs Mal sollte man schon werfen. Aber warum gleichen sich die Ergebnisse nach Zunahme der Würfe immer mehr an ? Warum kommt nicht 5000 Mal die 1, 2500 Mal die 2, 2000 Mal die 3, 300 Mal die 4, 150 Mal die 5 und 50 Mal die 6 ?
Warum kommt nicht 5000 Mal die 1, 2500 Mal die 2, 2000 Mal die 3, 300 Mal die 4, 150 Mal die 5 und 50 Mal die 6 ?
Das kann vorkommen, es ist halt nur sehr unwahrscheinlich.
Sehr schöne Antwort. Hoffen wir, dass der Fragensteller auch was damit anfangen kann.