Warum ist Pi = 3,14... und nicht 6,28...

Question

Hallo,

warum ist Pi gerade 180°, also der halbe Umfang vom Einheitskreis und nicht 360° und damit der volle Umfang?

Wo kommt es her, dass es eben nur die Hälfte ist?

Vielen Dank!

JotEs · Answer

Die Zahl pi ist definiert als das Verhältnis des Umfanges U zum Durchmesser D eines Kreises:

pi = U / D

Da der Durchmesser D das Doppelte des Radius R des Kreises ist, gilt folglich:

pi = U / ( 2 * R )

Und da beim Einheitskreis R = 1 gilt, ergibt sich:

<=> pi = U / 2

dompfeifer · Answer

Weil mit dieser Vereinbarung viele alltägliche Formeln ganz einfach werden, z.B. Umfang = Durchmesser mal Pi (im Sinne von Halbkreis). Würde man Pi als Vollkreis definieren, müsste man hier schon rechnen:  Umfang = Durchmesser mal Pi/2. Das wäre umständlicher. Bei Flächen- und Volumenberechnungen würde alles noch viel komplizierter.

Gehenna · Answer

Du verwechselst bloß den Durchmesser mit dem Radius.

Es wird zwar eher mit dem Radius gemessen (bei eigentlich allem bis auf die Umfangberechnung ^^), aber Pi beschreibt das Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser, sprich Umfang geteilt durch den Durchmesser = Pi.

friendlyX96 · Answer

Vielleicht hilft dir das hier weiter:

Einen Winkel stellt man sich am einfachsten als Drehung vor: Ich stell mich irgendwo hin und drehe mich z.B. um 45 Grad nach links. Man zeichnet Winkel ja auch als Kreisbögen (ich meine, wenn Du einen Winkel einzeichnest, machst Du doch so einen kleinen Bogen da hin). Und nun stellt sich die Frage, wie ich die Größe der Drehung beschreibe.

Eine Variante ist zu sagen: Ich betrachte die Drehung, bei der ich mich einmal um meine eigene Achse gedreht habe, und teile diese in gleich große Abschnitte ein. Die Alten Griechen (oder wahrscheinlich die Mesopotamier, recherchiere selbst!) haben ihren Vollwinkel (die ganze Drehung) in 360 Schritte eingeteilt. Warum?
Im Altertum hat man gern Zahlen gewählt, die sich möglichst gut durch andere Zahlen teilen lassen. Wenn man die ganze Drehung in 360 Schritte einteilt, hat 1/2 Drehung 180 Schritte, 1/3 Drehung 120 Schritte, 1/4 Drehung 90 Schritte, 1/5 Drehung 72 Schritte, 1/9 Drehung 40 Schritte u.s.w. Hättest Du jetzt die ganze Drehung in, sagen wir, hundert Schritte geteilt, dann hättest Du 1/3 Drehung mit 33,33333... schritten. Blöd. Deshalb 360.
(Man hat dann auch die einzelnen Schritte noch einmal ge-60-telt, weil 60 die kleinste Zahl ist, die man durch 2, 3, 4, 5 und 6 teilen kann.)
Dieses System nennt sich "Grad" oder auch "Altgrad".

Später hat man dann angefangen, im Zehnersystem zu rechnen. Wir sind z.B. gewohnt, dass 1/2=0.5 ist, 1/5=0.2 und so weiter. Weil man damit im Alltag zu tun hatte, erfand man in der Neuzeit ein System, dass den rechten Winkel (also nicht die Drehung "einmal rum", sondern die Drehung "links um") in 100 gleiche Schritte aufteilt. In der Berufsgruppe, die am meisten mit Winkeln zu tun hatte – das waren die Landvermesser – setzte sich dieses System durch, und jetzt ist es auch auf den Taschenrechnern zu finden (mit der Abkürzung "GRA", zur Verwirrung aller Schüler, die dort "Grad" erwarten). Diese Einteilung nennt sich "Gon" oder "Neugrad".

Du erkennst jetzt bestimmt, dass alle diese Einteilungen sehr willkürlich sind. Also suchten die Mathematiker nach einer natürlichen Einteilung – und wurden fündig: Sie nutzten zur Beschreibung von Winkeln einfach Krisbögen!
Nun weißt Du, dass der Umfang eines Kreises immer das 2π-fache vom Radius ist. Die Länge eines Halbkreises ist also das π-fache vom Radius, und die Länge eines Viertelkreises das (π/2)-fache vom Radius. Es ist natürlich doof, dass diese Länge noch vom Radius abhängt, also teilte man einfach durch den Radius, dann isser weg. Für jeden Viertelkreis ist also Bogenlänge/Radius=π/2.
Man beschreibt also den rechten Winkel durch einen Kreisbogen, der ein Viertel des Gesamtkreises ausmacht, und für diesen Bogen ist Länge/Kreisradius=π/2. Dieses System nennt sich Bogenmaß.

Also hat man (Rechter Winkel)=90° (Altgrad)=100g (Neugrad)=π/2 (Bogenmaß).

Warum ist Pi = 3,14... und nicht 6,28...

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