Warum ist F = Gradient V?
Hallo,
also im eindimensionalen Fall ist mir das klar. F ist die Ableitung des Potenzials, da eine infinitesimal kleine Änderung der Energie normiert durch den infinitesimal kleinen Weg, den ich dafür gehe, wegen W/s = F eine Kraft sein muss.
Allerdings raff ich das für alle Fälle mit mehr als einer Dimension nicht. Z.B. für 2 Dimensionen. Ich guck, wie ist die Änderung in x Richtung, dann in y-Richtung aber das da jetzt irgendwie die resultierende Kraft in dem Punkt ergibt, ist für mich anschaulich nicht klar.
Ich lese häufiger von der "Berganalogie" undzwar, dass ich mir die Potenziale wie verschieden hohe Niveaus vorstellen soll. Die Aussage ist dann, dass der Gradient mir die Richtung des steilsten Anstiegs, bzw. wenn man den "Pfeil umdreht" in Richtung des stärksten Gefälles gibt, und die Sachen bewegen sich nunmal in Richtung des stärksten Gefälles.
Das leuchtet mir praktisch ein, aber "beweisen", wieso Sachen immer den stärksten Hang runterrollen könnte ich nicht.
Außerdem klärt das nur die Frage der Richtung. Nicht aber, wieso der Gradient auch betragsmäßig der Kraft in dem Punkt sein muss.
Kann mir da jemand weiterhelfen?
Danke im Voraus!
3 Antworten
Das Potential ist quasi so definiert. Im eindimensionalen Fall ist V ein Potential der Kraft F, wenn
Im dreidimensionalen Fall ist V ein Potential der Kraft F, wenn
Dann gilt wie im eindimensionalen Fall für die x-Komponente
und analog für die anderen Komponenten.
Ja genau. Jede skalare Funktion V(r) ist ein Potential, wenn F=-grad (V). Dabei ist V nur bis auf eine Konstante eindeutig. Und: nicht für jede Kraft existiert ein Potential (z.B. haben geschwindigkeitsabhängige Kräfte wie die Lorentzkraft kein Potential - man sagt dann, die Kraft sei nichtkonservativ, im Gegensatz zu den konservativen Kräften, für die ein Potential existiert).
Das ist ein, 2 und 3 Dimensional immer die selbe Überlegung.
Im Eindimensionalen Fall leitest du nur in eine Richtung ab und im 3 Dimensionalen Fall in 3.
Das mit der Richtung scheinst du ja zu verstehen, was den Betrag angeht Projiziere dein Potential Virtuell Betrachtet in Richtung des Vektors und mach genau das selbe wie im Eindimensionalen Fall die Überlegung dahinter ist gleich.
Außerdem ist es so dass das Potential nun mal so definiert ist.
Das Potential V ist das Skalarfeld welches die Gleichung F=grad(V) erfüllt, damit erübrigt sich ein Beweis.
Danke erstmal
Ich kann leider gedanklich da nicht den Übertrag machen. Also ich gehe in x Richtung und gucke mir an welche Kraft ich leisten muss, um auf einem infinitesimal kleinen Abschnitt einen infintesimalen Zuwachs an Energie zu bekommen (Steigung der Energie in Bezug auf Weg = Kraft). Das gleiche mache ich in y-Richtung. Aber das wars auch. Nur weil ich mir sozusagen eine Kraft in x Richtung denke und eine in y, muss die Summe doch nicht die real wirkende Kraft sein.
Mein gedanklicher Haken ist irgendwie sehr schwierig zu erklären. Vielleicht so:
Wie sieht das "Experiment" aus, das mir anschaulich erklärt, dass Gradient V= F ist.
Ein Experiment ist schwer weil das Potential ein mathematisches Werkzeug ist.
Nur weil ich mir sozusagen eine Kraft in x Richtung denke und eine in y, muss die Summe doch nicht die real wirkende Kraft sein.
Doch Vektoraddition.
Ziehe das ganze von hinten auf.
Du suchst ein V für welches F=grad(V) gilt und das nennst du Potential. Das ist auch genau der Weg wie es eingeführt wurde.
Danke,
Aber das Potential entspricht in dem Falle einer Energie. Dann erscheint es i.G. wie Magie, dass die Energie, also die Fähigkeit Arbeit zu leisten, dem entspricht, was ich Vektorfeld nenne und ursprünglich über die Kraft definiere (Gradient dieses "abstrakten Skalarfelds" entspricht der Kraft in jedem Punkt). Und Energie kann ich nunmal messen, z.B. wenn ich ein Objekt in dieses Kraftfeld tue und am Ende die Geschwindigkeit messe oder iwie sowas.
Dann kann ich ja erstmal nicht erklären, dass dieses magische Feld, dass ich so konstruiere, dass sein Gradient der Kraft in jedem Punkt entspricht i.G die Energie ist
Versteht man, was ich meine?
Doch weil W=Integral (F*ds) gilt und mit F=grad(V) automatisch W=Integral(grad(V)*ds)= V1 - V2 gilt.
Wobei 1 und 2 die Endpunkte des Integrals sind bzw die Punkte in dem Potential über welche ich meine Energie betrachte.
Das was hier dein Potential mit der Energie verbindet ist der Zusammen Kraft*Weg, solange der Stimmt muss also auch das Potential so passen, ansonsten wäre die Mathematik dahinter falsch.
Das beweist man auch nicht, sondern man überprüft es experimentell. Wenn das Experiment und die Theorie übereinstimmen, ist die Theorie gut genug.
Wenn nicht, bessert man bei der Theorie nochmal nach.
Das Potential ist ein rein mathematisches Werkzeug und tritt experimentell nicht in Erscheinung hier spielt nur die Energie usw eine Rolle daher wird das nicht experimentell bestimmt.
Allerdings ist das Potential nunmal so definiert womit sich ein Beweis wiederum erübrigt.
Wenn man den Gradient des Potentials ausrechnet und er stimmt nicht mit der experimentell ermittelbaren Kraft überein,
Was aber nicht möglich ist da man sonst schlichtweg das Potential falsch errechnet hat.
Das Potential kannst du nicht messen, lediglich die Kraft. Wenn du nun von der Kraft auf das Potential schließt dann muss der Rückweg logischerweise auch korrekt sein.
Die Definition des Potentials ist nun mal dass es die Gleichung F=grad(V) erfüllen muss alles andere wäre kein Potential.
Ich weiß dass man hier mit Potentialen rechnet. Das hat den Grund weil es einfacher ist.
Am Ende reduzieren sich alle Rechnungen mit Potentialen auf Energiebetrachtungen und das Potential ist eine mathematische Hilfsgröße.
Es gibt zwar Quantenmechanische Erklärungen wo dem Potential mehr als diese Stellung zu kommt aber das ist wiederum ein etwas anderes Potential als das hier definierte.
Die Gleichung F=grad(V) ist nun mal jene womit das Potential an sich definiert wird. Das ist so wie Q=C*U als Definition der Kapazität.
Das was ich meine ist eher ähnlicher dem elektrodynamischen Potential aus den Maxwellgleichungen. Da ist die Definition anders, läuft aber aufs selbe raus.
Ich habe lediglich gesagt dass es nicht notwendig ist einen Experimentalbeweis für eine Definition durchzuführen.
Danke erstmal,
dann ist das so ein Henne oder Ei Ding? Das Potentialfeld ist so definiert, dass sein Gradient der Kraft in dem Punkt entsprechen soll?