Warum ist die Steigung bei einem Wendepunkt am größten/schwächsten?
Hallo liebe Community,
mich würde mal interessieren, warum (rein vom mathematischen Aspekt her) die Steigung am Wendepunkt am höchsten/schwächsten ist. Mir ist durchaus bewusst, dass das so ist aber kann man das auch irgendwie Mathematisch erklären?
Vielen Dank im Vorraus
2 Antworten
Mann kann es Mathematisch erklären, ja. Und zwar ist ja die erste Ableitung die Steigung und der positive Extremwert der 1. Ableitung ist dann der Wendepunkt. Wenn du also den Extremwert der 1. Ableitung suchst, also die 2. Ableitung = 0 setzt, dann hast du mathematisch die größte Steigung erwiesen.
Eindeutig jein, denn:
A. Wendepunkte einer Funktion sind genau die Extremstellen einer Ableitung.
B. Diese Extrema müssen allerdings weder positiv sein oder sonstige Spezialeigenschaften haben.
Auch ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung, dass die 2. Ableitung =0 ist, weil dann die erste Ableitung auch einen Terassenpunkt haben könnte, ... der kein Extremum ist (und die Ausgangsfunktion hat dann wegen A. logischerweise auch keinen Wendepunkt).
Sondern damit die 1. Ableitung wirklich ein Extremum hat, muss zusätzlich die 3. Ableitung ≠ 0 sein, denn genau dann hat die 1. Ableitung entweder ein Maximum (also 3. Ableitung <0) oder aber ein Minimum (3. Ableitung > 0).
Das geht alles ganz genauso wie bei der Extremwertbestimmung der Ausgangsfunktion auch, nur "mit einem Strich (für die Ableitung) mehr" (für alle entsprechend betrachteten Ableitungen).
Leite die funktion einfach ab.
Die erste Ableitung beschreibt die Steigung des Grafen /der Originalfunktion.
Erste Ableitung: f(x) = mx^n +ax + dy-b => f'(x) = mx^(n-1) + a
x= x^1 => x^0=1
Variable y wird als konstante gewertet. Würdest du nach y Ableiten würde x wegfallen