Warum gibt es keine Wendepunkte (Wolfram Alpha)?
x(ln(x^2)/ln(10)) , Alternative Forme = xlg(x^3)
Vermutlich ist 0 ein Wendepunkt, aber warum dann ergibt die zweite Ableitung ihn nicht?
Weil 0 gehört nicht zu der Definitionsmenge.
Aber dann, wie soll man die Krümmung berechnen und beweisen?
2 Antworten
- meinst du vielleicht bei „Alternative Forme“ eigentlich „Alternative Formel“? und dann nicht „lg(x^3)“ sondern „lg(x^2)“?
- da die Funktion in x=0 nicht definiert ist, ist sie dort auch nicht differenzierbar?
- du könntest den Punkt (0;0) einfach ergänzen...
- dann hättest du f(x)=0 undund f'(0) ist kein Stück Null... sondern minus unendlich... und die zweite Ableitung ist an der Stelle sogar totaler Müll... LOL
- da würde ich mal sagen, dass man da nicht von einem Wendepunkt sprechen kann, wie man ihn in der Schule lernt...
- laut WP müsstest du zeigen, dass es die Stelle x=0 berührende Intervalle links und rechts gibt, wobei die Funktion in dem einen komplett konkav und in dem anderen komplett konvex ist...
- das dürfte hier der Fall sein...
- https://de.wikipedia.org/wiki/Wendepunkt#Definition
Zuãchst mal beschreibt deine "alternative Form" (x lg(x^3)) eine andere Funktion als die unsprüngliche (x (ln(x^2)/ln(10)). Ich bleib' mal bei letzterer.
Man kann du Funktion stetig in 0 durch f(0) = 0 ergänzen. 0 gehört also schon zu Definitionsmenge, zumindest der stetig ergänzten Funktion.
Die Ableitung lautet ln(x^2)/ln(10) + x*(1/x^2)*2x/ln(10) = (ln(x^2)+2)/ln(10) was in 0 nicht mehr stetig ist, und die zweite Ableitung is 1/x^2*2*x/ln(10) = 2/(x*ln(10)), was in 0 auch nicht stetig ist.
Damit ist 0 kein Wendepunkt nach dem "zweite Ableitung"-Kriterium. Das liegt einfach daran, dass dieses Kriterium nur für zweimal differenzierbare Funktionen gilt, und die Funktion hier ist halt in 0 nicht zweimal differenzierbar, sondern nur stetig ergänzbar.
Dennoch ändert die Funktion ihr Steigungsverhalten in 0, was 0 zu einem Wendepunkt macht.