Warum gibt es eigentlich keine 3. binomische Formel für höhere Potenzen?
Warum findet man die 3. binomische Formel nicht für höhere Potenzen? Also a³-b³ oder a⁴-b⁴ usw...?
4 Antworten
also für gerade Exponenten „2n“ wäre es ja das da:
oder?
Aber bekommt man damit ungerade Exponenten ohne Brüche hin?
Die Formel wird dann etwas länglich.
Es handelt sich um die Umkehrung der Formel für die endliche geometrische Reihe und eine Verallgemeinerung hiervon:
1 + q + q^2 + ... + q^n = (1 - q^(n+1)) / (1 - q)
(1 + q + q^2 + ... + q^n) * (1 - q) = 1 - q^(n+1)
Beide Seiten mit a^(n+1) multipliziert und b := a * q substituiert:
(a^n + a^(n-1) b + a^(n-2) b^2 + ... + a^2 b^(n-2) + a b^(n-1) + b^n) * (a - b)
= a^(n+1) - b^(n+1)
(a - b)^3 = (a - b) ( a- b) (a - b) = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 -b^3 . Hier siehst du, dass sich der Mittelteil, wegen der unterschiedlichen Potenzexponenten von a u. b nicht aufhebt. Daher kann hier keine dritte binomische Formel angewendet werden. Das gleiche gilt für (a - b )^4 . Da ist es noch gravierender. Also kann es auch keine vierte binomische Formel für ( a - b )^4 geben.
LG von Manfred
Es gibt ja nur 3 binomische Formeln. Das (a-b)⁴ entspricht der 2. binomischen Formel für die 4. Potenz. das ist leicht mit den binomialkoeffizienten berechenbear.
( a - b )^4 = a^4 -4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 +b^4 . Was entspricht daran die 2. binomische Formel? LG von Manfred
(a+b)⁴ = a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴
(a-b)⁴ = a⁴ - 4a³b+6a²b² - 4ab³+b⁴
(a⁴+b⁴)(a⁴-b⁴)?
5! = (3*4*5*2)? Scherz :P
Es gibt den binomischen Lehrsatz für beliebige Potenzen n:
und den Binomialkoeffizienten
(Stichwort dazu auch: "Pascalsches Dreieck")
Den kenne ich bereits. Der lässt sich aber nicht auf die 3. binomische Formel anwenden, oder?
Es funktioniert!