Warum erhält man 0=0, wenn eine Gleichung in sich selbst einsetzt?
Also mir ist das ganze aufgefallen, als ich das Einsetzungsverfahren ausprobiert hab. Hier ein Beispiel:
Normalerweise würde man jetzt z.B. die II nach x umstellen, also x = 6-y. Und ann das in I einsetzen. Alles gut. Aber mir ist es letztens mal aus Verstehen passiert, dass ich das dann wieder in die II eingesetzt hab. Und dann erhält man 0=0. Also warum erhalte ich eine wahre Aussage, wenn ich eine Gleichung in sich selbst wieder einsetze?
8 Antworten
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Wenn man die Lösung bzw. die Lösungen in eine Gleichung einsetzt, erhält man eine wahre Aussage.
In diesem Fall sind die Lösungen Zahlenpaare (x, y), mit x = 6-y erhalten wir die Zahlenpaare (6-y, y ) als Lösung. Diese, eingesetzt in die Gleichung, muss daher zu einer wahren Aussage führen, was es auch tut.
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x = 6-y bzw. die Zahlenpaare (6-y, y ) - wobei y eine beliebige Zahl ist - repräsentieren ebenfalls eine echte Lösung, nämlich die der Gleichung x+y=6 , das ist eine Gleichung mit 2 Variablen mit den unendlich vielen Zahlenpaaren (6-y, y ) als Lösung. Setzt man (6-y, y ) in (I) ein, erhält man aus den unendlich vielen Zahlenpaaren (6-y, y ) jenes Zahlenpaar (8, -2) , das nicht nur Lösung der Gleichung (II) sondern auch der Gleichung (I) ist. Wenn man (8, -2) in die Gleichungen einsetzt, erhält man 8=8 oder 6=6, bzw. nach Division jeweils ebenfalls O=O.
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Im Prinzip hast du ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und zwei Variablen. Nur sind es im erwähnten Fall dann zweimal die gleiche Gleichung. D.h. die zweite Gleichung ändert an der Lösung nichts. Eine einzige lineare Gleichung mit 2 Variablen hat aber für jedes beliebige x ein y als Lösung (von sehr speziellen Ausnahmen man abgesehen). Eine Gleichung mit 2 Variablen hat also unendlich viele Lösungen d.h. jedes x und jedes y kann als Lösung vorkommen. Die Gleichung 0 = 0 ist für jedes x und für jedes y wahr und dies ist ja auch die Lösung.
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Du machst ja im Prinzip nichts anderes, als das Gleiche zwei mal hinzuschreiben.
Wenn du dann sortierst und vereinfacht, bleibt nichts über, als eine immer wahre Aussage.
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0 = 0 ist immer wahr. Das heist nichts anderes: Egal was du für x und y einsetzt in der einen Gleichung, die andere Gleichung wird mit denselben x und y auch aufgehen.
Geometrisch gesehen sind das zwei Geraden auf einer 2D Ebene, die aufeinanderliegen.
Logisch betrachet: Wenn du Irgendetwas hast und dieses Irgendetwas wegnimmst, wirst du IMMER Nichts am Ende haben. Das gilt für ALLES.
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Naja, wenn du die Gleichung nach x umstellst, dann findest du das x, so dass die Gleichung erfüllt ist. Wenn du das x dann wieder einsetzt, dann ist die Gleichung offensichtlich erfüllt, weil du ja genau das x einsetzt, sodass die Gleichung erfüllt ist. Es kommt also 0=0 raus. Wenn du das ganze normal lösen würdest, dh erst nach x umstellst, in die i) einsetzt und dann nach y umstellst und explizite Lösungen für x und y bekommst, dann kannst du die ja auch wieder einsetzen und bekommst 0=0 bei beiden Gleichungen
Danke, ich habs verstanden. Und warum bekomme ich dann eine "echte Lösung", wenn ich in I einsetze?