Hallo erstmal.
Ich halte heute in 2 Wochen meine PL (S3) in Mathe und in heute einer Woche muss ich meine Dokumentation abgeben. Ich muss nur erstmal die Aufgabe verstehen... Vielleicht kannst du mir ja helfen. :) Diese Informationen und Aufgaben habe ich dazu bekommen.
Das Wachstum zweier Populationen lässt sich durch die Funktion f bzw. g beschreiben. Die Funktion f beschreibt exponentielles, die Funktion g lineares Wachstum. Dabei bezeichnen f(t) bzw. g(t) die Anzahl der Individuen der Populationen zum Zeitpunkt t (t in Jahren).
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Stelle die Gleichungen für f(t) und g(t) auf, wenn der Anfangsbestand zum Zeitpunkt t = 0 jeweils 1500 Individuen und der Bestand nach zehn Jahren jeweils 2000 Individuen beträgt.
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Berechne den Zeitpunkt innerhalb der ersten zehn Jahre, bei dem der Unterschied zwischen linearem Wachstum und exponentiellem Wachstum am größten ist.
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Bestimme näherungsweise den Zeitpunkt, an dem eine Population doppelt so viele Individuen hat wie die andere.
Damit du jetzt nicht denkst, ich würde die ganze Arbeit von mir schieben! Meine Ansätze:
Formel für lineares Wachstum: B(t)= p x t + B(0) und exponentielles Wachstum: B(t)= B(0) x a^t
B(0) ist der Anfangsbestand, also 1500 Individuen; p ist die Änderungsrate; t ist die Zeit, hier in Jahren, a ist der Wachstumsfaktor (a=1+p)
Für Aufgabe 1: 2000 - 1500 = 500 also 500 : 10 Jahre = 50 pro Jahr. 50 ist für das lineare Wachstum also die Änderungsrate (p)
Damit kann ich die Gleichung aufstellen: B(10)= 50 x 10 + 1500 = 2000
Für das exponentiellen Wachstum: Zuerst muss ich nach a auflösen.
Allgemeine Formel zum auflösen von a:
B(t) = B(0) x a^t -> durch B(0)
B(t)/B(0) = a^t
t Wurzel von (B(t)/B(0) = a
Für meine Aufgabe:
g(10)= 1500 x a^10 -> durch 1500
g(10)/1500 = a^10 -> die 10. Wurzel von a
- Wurzel von g(10)/1500 = a = 1.029186009
Damit komme ich dann auch ungefähr auf 2000 Individuen nach 10 Jahren.
Habe ich bis hier hin alles richtig gemacht? Bei den nächsten beiden Aufgaben bin ich dann gescheitert. Ich weiß nur, dass es sich bei Aufgabe 2 nur um den Intervall [0;10] handelt und ich denke ich muss die Differenz berechnen mit einer senkrechten Geraden, wenn ja: Wie finde ich heraus, wo ? Bei Aufgabe 3 denke ich wegen "Bestimme näherungsweise.." daran x gegen einen Wert zu stellen. Außerdem habe ich mir die Graphen mit den Daten aufgemalt und das heißt g(t) =1/2 f(t), da g(t) deutlich schneller ansteigt als f(t).
Ich weiß, dass war jetzt echt viel Text, aber ich hoffe Ich könnte wenigstens schon mal einen Teil klären.
