Wann beachtet man in der Kombinatorik beim gleichzeitigen Ziehen die Reihenfolge?
Eine Sache in der Kombinatorik verstehe ich einfach überhaupt nicht und ich habe bei mehreren Aufgaben dasselbe Problem gehabt. Beispielsweise folgende Aufgabe:
In einer Schublade liegen 4 rote, 8 weiße, 2 blaue und 6 grüne Socken. Im Dunklen nimmt Franz zwei Socken gleichzeitig aus der Schublade. Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt er eine weiße und eine blaue Socke?
Mit dem Lottomodell lässt sich das ganze in 3 Sekunden lösen und alles ist super: 8 über 1 mal 2 über 1 durch 20 über 2. Lösung 8/95
Was mich nur stört ist die Aussage „Gleichzeitig“ und „im Dunklen“. Das bedeutet doch dass Franz nicht weiß, welche Socke welche ist und dann ist die Reihenfolge doch folglich egal. Es geht nur darum eine der 8 weißen und eine der 2 blauen Socken zu ziehen.
Wenn man die Aufgabe aber mit Pfadmultiplikation angeht, beginnt die Verwirrung bei mir. 8/20 x 2/19 ist 4/95.
Die Lösung der Aufgabe sagt aber auch 8/95. also P(WB) + P(BW). Warum wird hier dann doch unterschieden ob zuerst eine weiße oder eine blaue Socke gezogen wird und dann 8/20 x 2/19 x 2 gerechnet??
Das checke ich einfach nicht. Danke für Klärung im Voraus.
1 Antwort
Wenn man die Reihenfolge beachtet, ist es nicht mehr "gleichzeitiges Ziehen", sondern "Ziehen ohne Zurücklegen".
Baumdiagramme (die die verschiedenen Objekte trennen) lassen sich natürlich nicht für "gleichzeitiges Ziehen" aufstellen, nur für "Ziehen ohne Zurücklegen".
Die Formeln/Terme, die am Ende herauskommen, sind aber dieselben (sobald man von der Reihenfolge absehen kann).
Bei einem Baumdiagramm gibt es immer eine Reihenfolge - es sei denn, man packt alle Fälle in eine einzige Verzweigung (was aber nicht Sinn des Baumdiagramms ist).
Hier ist es ein Unterschied, ob du zuerst eine weiße Kugel ziehst und dann eine blaue oder erst eine blaue Kugel und dann eine weiße. (Bzw. Socken)
Eigentlich muss gerechnet werden
8/20 * 2/19 + 2/20 * 8/19
(erst weiß, dann blau; erst blau, dann weiß)
Wegen der Regeln des Bruchrechnens haben beide Produkte denselben Wert. Deshalb (und NUR deshalb) kann man auch einen Faktor 2 davorschreiben. Wenn hier wirklich unvermittelt der Faktor 2 dazukommt, ist das für ein Lehrbuch für Anfänger didaktisch sehr ungeschickt formuliert.
Warum formal mal 2 gerechnet werden kann, ist mir schon klar. Ob ich 8/20 x 2/19 oder 2/20 x 8/19 rechne ist ja egal. Aber meine Frage ist immernoch, warum ich überhaupt beide Fälle beachten muss und nicht einfach nur 8x2/20x19 nehmen kann, also 4/95 die richtige Lösung ist. Der Unterschied von einer Kombination und einer Variation ohne Wiederholung ist ja auch der Divident k!. Also werden beispielsweise die 3 Fälle 133, 313, 331 (eine 1), mit /3! zu einem Fall zusammengefasst. Ist das nicht hier dasselbe?
Einmal kommt es auf dasselbe heraus, ob man dreimal eine Kugel zieht, ohne eine zurückzulegen, oder ob man drei Kugeln auf einmal zieht (sofern man von der Reihenfolge absieht).
Andererseits kannst du auch sämtliche Möglichkeiten, zwei Kugeln zu ziehen, untersuchen, und dabei die passenden Fälle filtern. Dann steckt der Faktor 2 (= 2! - es geht ja um die Reihenfolge) schon in der Auswahl der Möglichkeiten, 2 Kugeln zu ziehen - fällt im Nenner weg durch den Binomialkoeffizienten. Das entspricht der 3! in deinem Beispiel (falls da nicht 2!*1! statt 3! stehen müsste und man tatsächlich die Reihenfolge der beiden 3en berücksichtigen muss). Wäre aber etwas komplizierter, die Anzahl der passenden Fälle zu bestimmen.
Diese Herangehensweise habe ich auch erfolgreich getestet. Dabei müsste man ja zwischen den einzelnen weißen und blauen Socken differenzieren und „durchnummerieren“. Die Anzahl der günstigen Fälle wäre dann ja 8 x 2 x 2, also 32 und dann das durch die 20!/18! für alle Fälle, passt auch mit 8/95. Mir ist aufgefallen, dass man ja genau dieselbe Weise auch ohne Reihenfolge nutzt, wenn man das Lottomodell verwendet und kommt somit auch auf dasselbe Ergebnis. Woran liegt das?
"Lottomodell" ist vielleicht ein passendes Stichwort - auch beim Lotto werden die Zahlen ja hintereinander gezogen, aber am Ende werden sie der Größe nach sortiert (also von der Reihenfolge abstrahiert).
Wenn man mehrere Kugeln gleichzeitig zieht, hat man sie ja in einer bestimmten Reihenfolge in der Hand, und diese Reihenfolge kann sich ändern.
Das bedeutet also dass ich, sobald ich ein Baumdiagramm nehme auch die Reihenfolge beachten muss indem ich alle Möglichkeiten für eine blaue und eine weiße addiere? Ehrlich gesagt kann ich der Erklärung nicht ganz folgen