Wahrscheinlichkeitsrechnung: Parameter n und p berechnen
Guten Tag, Ich schreibe morgen ne Mathe Klausur und kriege das berechnen von Parameter n und p nicht so richtig hin. Aufgabe: 4% der männlichen Bevölkerung sind farbenblind, wie groß muss eine Gruppe sein, damit mindestens einer farbenblind ist oder 2) mindestens 5 Mein Problem liegt nur beim zweiten Aufgaben Teil, den ersten schaffe ich durch die Solve Funktion Laut Lehrbuch muss ich das durch die binomcdf Funktion lösen, die hat mein Taschenrechner aber nicht Zu Parameter P: Gibt es da eine andere Möglichkeit das zu lösen als mit einem GTR Taschenrechner?
3 Antworten
So, wie die Frage gestellt wird, lautet die Antwort auf Frage 1: 96% der männlichen Bevölkerung plus 1; auf Frage 2: 96% der männlichen Bevölkerung plus 5.
Vermutlich ist aber danach gefragt, wie groß die Stichprobe sein muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von z. B. 95 % oder 99 % so viele Exemplare farbenblind sind.
Lies hierzu die Wikipedia-Artikel zu
- Bernoulli-Verteilung
- Poisson-Verteilung
- Inversionsmethode
Die Frage nochmal im Orginal 4% der Männer sind farbenblind.wie groß muss eine Gruppe von Männern mindestens sein, damit mindestens 90-prozentiger Wahrscheinlichkeit mindestens a) einer aus der Gruppe farbenblind ist oder b) 5
Danke schon einmal für die Links ;)
Ja. Durch gezielte Benutzung des Rechners nach eigenständigem Nachdenken.
Ich schreibe die Wahrscheinlichkeit als Dezimalbruch, also 4 % = 4/100 = 0,04 usw.
- Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mann nicht farbenblind ist, beträgt 1 - 0,04 = 0,96.
- Also ist die Wahrscheinlichkeit dass von n Männern kein einziger farbenblind ist, 0,96^n. - Die Wahrscheinlichkeit dass von n Männern mindestens einer farbenblind ist, ist 1 - 0,96^n. - Also ist zu lösen:
1 - 0,96^n ≥ 0,9 ; | -0,9 ; | + 0,96^n
0,2 ≥ 0,96^n; | ln; | log(a^b) = b log(a) für bel. Logarithmus anwenden:
ln(0,2 ) ≥ ln (0,96^n) = n ln(0,96); | : ln(0,96) < 0
39,42... = ln(0,2) / ln(0,96) ≤ n ⇒ n = 40
Die (Gegen-)Wahrscheinlichkeit zur gesuchten, nämlich dass bis zu vier von n Männer farbenblind sind, beträgt, weil das binomialverteilt ist:
∑ (n über k) p^(n-k) * q^k, wobei k = 0,...,4, wobei p = 0,04, q = 0,96.
Die Summe dieser fünf Summanden lautet ausgeschrieben:
- 0,96^n +
- n * 0,96^(n-1) * 0,04 +
- n(n-1)/2 * 0,96^(n-2) * 0,04^2 +
- n(n-1)(n-2)/6 * 0,96^(n-3) * 0,04^3 +
- n(n-1)(n-2)(n-3)/24 * 0,96^(n-4) * 0,04^4 =
Vereinfachung per Rechner ("simplify"):
0,96^n (1,25587 * 10^(-7) * n^4 + 0,0000113028 * n³ + 0,000833268n² +0,040822n +1);
Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt also:
1 - 0,96^n (1,25587 * 10^(-7) * n^4 + 0,0000113028 * n³ + 0,000833268n² +0,040822n +1) ≥ 0,9
Die Maschine findet:
n ≥ 197,828 ⇒ n = 198
Ich fand auch gerade meinen Fehler, denn ich rechnete 1 - 0,9 = 0,2 (statt 0,1). Also geht es richtig:
1 - 0,96^n ≥ 0,9 ; | -0,9 ; | + 0,96^n
0,1 ≥ 0,96^n; | ln; | log(a^b) = b log(a) für bel. Logarithmus anwenden:
ln(0,1) ≥ ln (0,96^n) = n ln(0,96); | : ln(0,96) < 0
56,40... = ln(0,1) / ln(0,96) ≤ n ⇒ n = 57
Schlussrechnung
Vielen Dank ;) Die Lösung hatte ich zwar schon und da ist deine auch falsch (n beträgt dort gerundet 57) aber dafür hat mir die zweite sehr gut weitergeholfen :)