Wahrscheinlichkeits Rechnung mit 4 würfeln?
Also ich habe 4 Würfel und muss mindestens eine 4 oder mindestens eine 6 würfeln. wie rechne ich dort die Wahrscheinlichkeit aus
1 Antwort
Hallo,
1 minus überhaupt keine 4 und überhaupt keine 6, also 1-(2/3)^4.
Ergibt etwa 80,25 % Wahrscheinlichkeit für mindestens eine 4 oder 6 bei vier Würfeln.
Herzliche Grüße,
Willy
Wenn das die Fragestellung war - man würfelt einmal mit vier Würfeln und es soll mindestens eine 4 oder eine 6 dabei sein - dann ja. Man berechnet dann einfach die Gegenwahrscheinlichkeit: Alle vier Würfel zeigen weder eine 4 noch eine 6, und zieht das Ergebnis von 1 ab, denn in allen anderen Fällen muß dann mindestens eine 4 oder 6 dabei sein (oder auch mehr davon natürlich).
Wenn Du es lieber kompliziert hast, berechnest Du einzeln alle Wahrscheinlichkeiten für eine, zwei, drei, vier Vieren; eine, zwei, drei, vier Sechsen und alle Kombinationen mit beiden aus und zählst die Einzelergebnisse zusammen.
Wer es so macht, müßte dann aber mit dem Klammerbeutel gepudert sein. Ein echter Mathematiker vermeidet überflüssige Arbeit, wo immer es geht.
hey könntest du mir schnell noch diese frage beantworten?
wie oft besteht die wahscheinlichkeit bei 4 würfeln eine 5 oder eine 6 zu würfeln
Wie oft? Du kannst bei jedem Wurf eine 5 oder 6 würfeln. Die Wahrscheinlichkeit ist bei jedem Wurf gleich, nämlich 1/3. Solange die Reihenfolge egal ist, kommt es nicht darauf an, ob Du einmal mit vier Würfeln gleichzeitig würfelst oder viermal hintereinander mit einem Würfel.
Wie viele Möglichkeiten? Meinst Du, wie viele Kombinationen es bei vier Würfeln mit Fünfen oder Sechsen gibt von keiner der beiden bis hin zu vier Sechsen?
weil chatgpt sagt das:
Um die Anzahl der Möglichkeiten zu berechnen, bei 4 Würfen mindestens eine 5 oder eine 6 zu würfeln, betrachten wir die Anzahl der Möglichkeiten, bei denen keine 5 oder 6 gewürfelt wird, und subtrahieren diese von der Gesamtanzahl der Möglichkeiten.
Die Anzahl der Möglichkeiten, keine 5 oder 6 bei einem einzelnen Wurf zu würfeln, beträgt 4
4, da es insgesamt 6
6 mögliche Ergebnisse gibt und davon 2
2 (die 5 und die 6) nicht gewünscht sind.
Daher beträgt die Anzahl der Möglichkeiten, bei 4
4 Würfen keine 5 oder 6 zu würfeln:
Anzahl der Mo¨glichkeiten=44=256
Anzahl der Mo
¨
glichkeiten=44
=256
Die Anzahl der Möglichkeiten, bei 4 Würfen mindestens eine 5 oder eine 6 zu würfeln, ist die Differenz zwischen der Gesamtanzahl der Möglichkeiten und der Anzahl der Möglichkeiten, keine 5 oder 6 zu würfeln:
Anzahl der Mo¨glichkeiten mit mindestens einer 5 oder 6=64−44=1296−256=1040
Anzahl der Mo
¨
glichkeiten mit mindestens einer 5 oder 6=64
−44
=1296−256=1040
Es gibt also 1040
1040 Möglichkeiten, bei 4
4 Würfen mindestens eine 5 oder eine 6 zu würfeln.
und das verstehe ich nicht
ChatGPT hat die richtige Anzahl errechnet, aber auf eine recht dümmliche Art und Weise. Das geht viel einfacher:
Jeder Würfel kann sechs Augenzahlen zeigen. Das ergibt bei vier Würfeln
6*6*6*6, also 6^4=1296 Kombinationen. Wenn Du von diesen alle ohne Fünfen und Sechsen abziehst, was dann logischerweise 4^4=256 sind (denn es dürfen ja nur noch vier der sechs Augenzahlen erscheinen), muß der Rest aus den Kombinationen bestehen, die mindestens eine 5 oder eine 6 dabei haben.
1296-256=1040.
Wenn Du nun die Anzahl der erwünschten Kombinationen (mit mindestens einer 5 oder 6) durch die Anzahl aller möglichen Kombinationen teilst, also
1040/1296, kommst Du wieder auf die etwa 80,25 % aus meiner Antwort.
Ich sehe gerade, daß ChatGPT auch diese Methode verwendet hat, allerdings statt 4^4 44 geschrieben usw., so daß man aus diesem Geschreibsel nicht schlau werden konnte. Das typische KI-Geschwafel halt - aber diesmal wenigstens mit einem korrekten Ergebnis, was selten genug vorkommt.
Im Zweifel für den Angeklagten darf man hier aber nicht anwenden
Diese 1040 Möglichkeiten beziehen sich allerdings darauf, daß die Reihenfolge berücksichtigt wird, daß also die Kombinationen 2-3-5-5 und 5-3-2-5 als zwei verschiedene angesehen werden, obwohl in beiden Fällen eine 2, eine 3 und zweimal 5 dabei sind. Das gilt, wenn man mit einem Würfel viermal hintereinander würfelt und die Reihenfolge notiert, in der die Zahlen erscheinen. Würfelst Du aber mit vier Würfeln in einem Knobelbecher, hast Du nur das Ergebnis vor Dir, weißt also, wie oft eine Augenzahl erscheint und welche Augenzahlen es sind, kannst aber nicht erkennen, welche Zahl zuerst und welche zuletzt gefallen ist, solange die Würfel keine unterschiedlichen Farben haben. An der Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Kombination ändert sich allerdings nichts, nur daß hier die Wahrscheinlichkeiten von Einzelkombinationen zu Klassen zusammengefaßt werden. Bei vier Würfeln hat jeder Wurf eine Wahrscheinlichkeit von 1/6^4=1/1296.
Das ist zum Beispiel bei dem Wurf 1-1-1-1 der Fall. Bei dem Wurf 1-1-1-2 dagegen gibt es vier Möglichkeiten: 1-1-1-2; 1-1-2-1; 1-2-1-1 und 2-1-1-1. Du kannst also auf vier verschiedene Arten mit vier Würfeln dreimal die 1 und einmal die 2 werfen, was insgesamt eine Wahrscheinlichkeit von 4*1/1296=1/324 ergibt. Sofern die Reihenfolge egal ist, ist es also wahrscheinlicher, drei Einsen und eine Zwei zu werfen als vier Einsen.
Nun ging es in Deiner Frage zunächst um die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei einem Wurf mit vier Würfeln mindestens eine 5 oder 6 dabei ist. Unberührt davon, ob man hierbei die Reihenfolge berücksichtigt, bleibt die Antwort gleich:
Etwa 80,25 % wie ausgeführt.
Auf die Frage allerdings, wie viele Würfe mindestens eine 5 oder 6 dabei haben, gibt es zwei Antworten: Einmal 1040, wenn man bei ansonsten gleichen Augen zweier Würfe die Reihenfolge berücksichtigt, in der die Augenzahlen erschienen. Von diesen 1040 Möglichkeiten hat jede einzelne die gleiche Wahrscheinlichkeit von 1/1296.
Wenn aber mit vier Würfeln gleichzeitig geworfen wird und die vier Würfel auch noch alle gleich aussehen, sieht die Sache anders aus. Nun kannst Du zwischen den beiden Würfen 6-6-1-5 und 1-5-6-6 nicht mehr unterscheiden, sondern alle Würfe mit zwei Sechsen, einer Eins und einer Fünf sehen für Dich gleich aus. Von ihnen gibt es gleich zwölf, die sich nur durch ihre Reihenfolge unterscheiden: 1-5-6-6; 5-1-6-6; 1-6-5-6; 5-6-1-6; 1-6-6-5; 5-6-6-1; 6-1-5-6; 6-5-1-6; 6-1-6-5; 6-5-1-6; 6-6-1-5; 6-6-5-1. Sie unterscheiden sich nur darin, welche beiden Plätze die Sechsen einnehmen und ob in jeder Permutation die 1 oder die 5 zuerst kommen. Bei einem Wurf mit einem Würfelbecher würden diese zwölf zu einer einzigen zusammengefaßt, nämlich einem Sechserpärchen mit 1 und 5. Die Wahrscheinlichkeit läge hier bei 12/1296=1/108, wäre also zwölfmal so wahrscheinlich wie etwa 1-1-1-1, denn diese Kombination kann man nicht in eine andere Reihenfolge bringen; es bringt nichts, die Einsen untereinander zu vertauschen..
Wie viele Möglichkeiten gibt es also unter diesen Voraussetzungen, daß bei einem Wurf mit vier Würfeln mindestens eine 5 oder eine 6 dabei ist?
Dazu kann man sich auch wieder der Methode bedienen, von der Anzahl aller Möglichkeiten diejenigen ohne 5 und 6 abzuziehen.
Wenn man alle Permutationen ansonsten gleicher Augenzahlen zusammenfaßt, ergibt das natürlich viel weniger als 1296 Möglichkeiten. Jetzt sind es nur noch 126. Wie rechnest man das aus:
Fallunterscheidung machen:
Alle vier Würfel haben eine andere Augenzahl.
Du wählst aus den möglichen sechs Augenzahlen vier aus: Das ergibt 6 über 4=
6!/[4!*(6-4)!)=720/(24*2)=15 Möglichkeiten von 1,2,3,4 bis 3,4,5,6. Spielte die Reihenfolge eine Rolle, wären es dagegen 6*5*4*3=360 Möglichkeiten. Du siehst, wie rapide die Anzahl bei dieser Sichtweise abnimmt.
Zweiter Fall: Die vier Würfe haben insgesamt drei unterschiedliche Augenzahlen, eine von ihnen muß also doppelt sein. Nun suchst Du aus den möglichen Augenzahlen drei anstatt vier aus, ergibt 6 über 3=20 Möglichkeiten. Da aber jede dieser drei Augenzahlen die doppelte sein kann, ergibt das insgesamt 3*20=60 Möglichkeiten.
Fall 3: Die vier Würfe bestehen nur aus zwei Augenzahlen. 6 über 2 ergibt wiederum 15. Du mußt aber weiter unterteilen. Es kann sich um einen Dreierpasch und um eine andere Zahl handeln oder um zwei Pärchen.
Bei dem Dreierpasch kann jede der beiden ausgewählten Augenzahlen den Pasch bilden, so daß Du hier auf 2*15=30 Möglichkeiten kommst.
Dazu kommen die 15 Möglichkeiten für die beiden Pärchen, was zusammen 45 Möglichkeiten ergibt.
Fall 4:
Viererpasch. Hier gibt es sechs Möglichkeiten, nämlich Pasch mit Einsen bis Pasch mit Sechsen.
Ergibt insgesamt 15+60+45+6=126 Möglichkeiten.
Davon ziehst Du nun die Möglichkeiten ab, die Du würfelst, wenn bei den Würfen nur die Augenzahlen 1 bis 4 erscheinen dürfen. Das wird genauso berechnet, halt nur mit vier anstatt sechs möglichen Augenzahlen. Das ergibt 35 Möglichkeiten. Ziehst Du die von den 126 ab, bleiben 91 übrig mit mindestens einer 5 oder 6.
und das wars dann? weil im Matheunterricht hat der das richtig kompliziert erklärt