Waagerechter Wurf - Sack und Flugzeug?
Ein unerfahrener Pilot lässt einen Versorgungssack aus 500 m Höhe senkrecht über dem eigentlichen Ziel fallen. Der Sack landet 1 km vom Ziel entfernt.
a) Wie ist die Geschwindigkeit vom Flugzeug Lösung:
s= 0,5gt^2 --> t= 10s
v=s/t --> v= 99 m/s
b) Wie ist die Geschwindigkeit vom Sack
Also hier bin ich sehr unsicher.. Habe in anderen Beitägen vom Pythagoras gehört, aber verstehe den Ansatz null :/
Ich dachte vielleicht mit dieser Formel für den freien Fall zu arbeiten:
h(t) = -0,5gt^2+v*t
h(t) = 0 und t= 10s
Leider nicht richtig :D
4 Antworten
Hallo,
Deine Ergebnisse stimmen.
Der Sack ist Wurzel aus 2h/g s in der Luft,
also Wurzel (1000/9,81)=10,1 s.
In diesen 10,1 Sekunden legt er in der Waagerechten eine Strecke von 1000 m zurück, was eine Geschwindigkeit von 1000/10,1=99 m/s bedeutet. Das ist natürlich die Geschwindigkeit des Flugzeugs, die sich auf den fallenden Sack übertragen hat.
Der Pythagoras hilft Dir bei Aufgabe b) nicht wirklich, denn die Flugbahn des Sacks ist keine gerade Linie, sondern eine sogenannte Wurfparabel mit einer Scheitelpunkthöhe von 0,5 km und einer Spannweite zwischen den Nullstellen von 2 km. Sie hat also die Gleichung f(x)=-0,5x²+0,5.
Um die Länge des Parabelbogens im Intervall [0;1] zu berechnen, brauchst Du das Integral über 0 bis 1 von der Wurzel aus (1+[f'(x)]²), also das Integral aus der Wurzel von 1+x². Als Ergebnis bekommst Du eine Bogenlänge von 1,148 km heraus oder 1148 m.
Da dieses Integral aber verdammt schwer zu berechnen ist - Du mußt x durch tan(z) substituieren usw., um letztendlich auf die Stammfunktion F(x)=[ln(∣√(x²+1)+x∣)+x√(x²+1)]/2+C zu kommen und die Integrationsgrenzen 0 und 1 einzusetzen (1 reicht, da das Ding für x=0 ebenfalls 0 wird), reicht es hier wohl, nach dem Pythagoras die Hypotenuse zu berechnen, also so zu tun, als beschreibe der Sack eine Gerade als Flugbahn.
Das wäre dann die Wurzel aus (1,25 km)²=1,118 km, etwas kürzer demnach als die tatsächliche Flugbahn.
Herzliche Grüße,
Willy
Ich hab in den Kommentaren ein Bild aus meinem Physik Buch gepostet.. Also da steht, dass man es mit dem Pythagoras machen darf, falls ich es richtig verstanden habe :/
Hallo,
laß uns das mal auseinanderklamüsern:
Wenn der Sack aus einem Flugzeug abgeworfen wird, das sich parallel zum Erdboden mit einer Geschwindigkeit von 99 m/s bewegt, behält der Sack (im Vakuum - da würde allerdings das Flugzeug nicht funktionieren) diese Geschwindigkeit bei. Gäbe es keine Schwerkraft und keinen Luftwiderstand, würde er ewig und drei Tage mit 99 m/s weiterfliegen.
Sobald er aber abgeworfen wird, gibt es nichts mehr, was ihn vom Erdboden fernhält. Er beschleunigt also mit 9,81 m/s² in Richtung Boden und wird somit immer schneller. Deswegen kann seine Flugbahn keine Gerade sein, denn die setzt in vertikaler wie in horizontaler Richtung konstante Geschwindigkeiten voraus. Die Geschwindigkeit in der Waagerechten bleibt also gleich, während die Geschwindigkeit in der Senkrechten von 0 bis 10,1 s*9,81 m/s²=99 m/s zunimmt, dieses Tempo erreicht er kurz vor dem Aufprall. Die Bahn des Sacks geht also immer steiler Richtung Erdboden (eine Parabel eben).
Deine 140 m/s sind nun die Endgeschwindigkeit des Sacks kurz vor dem Aufprall, wenn die horizontale wie die vertikale Geschwindigkeit zusammengefaßt werden. Die horizontale liegt nach wie vor bei 99 m/s, die vertikale erreicht diese Geschwindigkeit erst kurz vor dem Aufprall. Die Gesamtgeschwindigkeit errechnet sich dann gemäß dem Satz des Pythagoras aus der Wurzel von v²x und v²y (wobei x und y hier keine Faktoren sind, sondern nur Indizes, die die horizontale von der vertikalen Geschwindigkeit unterscheiden).
Daß beide Geschwindigkeiten hier zufällig gleich sind, liegt daran, daß der vertikale Abstand dem halben horizontalen entspricht. Endgeschwindigkeit ist also die Wurzel
aus 2*99² m/s=140 m/s. Das ist aber nur die Endgeschwindigkeit, nicht die Durchschnittsgeschwindigkeit, mit der der Sack ins Ziel rauscht.
Die Durchschnittsgeschwindigkeit kannst Du entweder so berechnen, daß Du die kürzeste Verbindung zwischen dem Flugzeug und dem Ort, an dem der Sack auftrifft, durch die Flugdauer von 10,1 Sekunden teilst; dann würdest Du also die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks eigentliches Ziel - Flugzeug - Aufprallort, also die Wurzel aus (500²+1000²)=1118 m bestimmen. 1118/10,1=111 m/s
oder Du würdest die Länge der tatsächlichen parabelförmigen Bahn des Sacks berechnen, die ungefähr 30 m länger ist und diese durch 10,1 Sekunden teilen, um letztlich eine etwas höhere Durchschnittsgeschwindigkeit zu erhalten, die bei 113 bis 114 m/s läge.
Aufgabe b), die nach der Geschwindigkeit des Sacks fragt, ist aber nicht eindeutig: Ist die Endgeschwindigkeit gemeint, die Durchschnittsgeschwindigkeit oder eine der Komponenten? Das geht aus der Aufgabenstellung nicht hervor. Viele haben es als die zusammengesetzte Endgeschwindigkeit interpretiert, die dann bei 140 m/s liegt.
Herzliche Grüße,
Willy
Ach ok danke.. Habe gar nicht daran gedacht zu unterscheiden :)
Du berechnest erst die Zeit für den freien Fall, also mit s(t) = 0,5g*t^2
Dann rechnest du mit der Zeit und der Strecke 1000m die Geschwindigkeit des Flugzeugs aus und mit der Formel v=g*t rechnest du die Geschwindigkeit vom Sack aus. In der Horizontalen hat der Sack natürlich die gleiche Geschwindigkeit wie das Flugzeug!
Hab für t 10s und hätte dann für v 100m/s .. Leider kommt 140m/s raus
Der Sack hat die gleiche Geschwindigkeit wie das Flugzeug. Nach welcher Geschwindigkeit ist denn gefragt? Nach der nach unten oder der seitlichen Geschwindigkeit?
Die Lösung ist: Du musst die Wurzel aus den Quadraten beider Geschwindigkeiten ziehen, das ist mit dem Satz des Pythagoras gemeint. Also wurzel((10s*9,81m/s^2)^2 + (100m/s)^2)
in diesem Fall entsprechen also die Katheten den Geschwindigkeiten und die Hypotenuse ergibt dann die Gesamtgeschwindigkeit des Sacks.
Der Sack beschreibt eine Parabel nach dem Verlassen des Flugzeug. Um ihre Gleichung zu erhalten, eliminiert man aus den Bewegungsgleichungen der beiden Teilbewegungen die Zeit.
Aus x = v0 • t und y = ½ g • t² wird:
y = g / ( 2 v0²) • x²
Die Strecke kannst du einfach berechnen.
S=sqrt(h^2+d^2)
sqrt=Wurzel, h= Höhe, d= Distanz (1km)
Diese Strecke legt der Sack in der selben Zeit zurück, wie wenn er senkrecht fällt (siehe erste Rechnung).
Sorry dovahkin aber Pythagoras wäre hier nur legitim, wenn der Sack eine Gerade als Flugbahn hätte. In Wahrheit hat er natürlich eine Parabel als Trajektorie - sprich längerer Weg in gleicher Zeit, daher ist Lösung auch eine höhere Geschwindigkeit.
Nach nochmaliger Überlegung kam mir das auch unvollständig vor. Ich habe zunächst damit gerechnet, dass die Rechnung vereinfacht geschehen soll. Danke für den Hinweis.
Tut mir Leid, aber irgendwie verstehe ich deinen Weg nicht, kenne auch nicht die Formel :o
Das ist der Satz d. Pythagoras ^^ Ich kann nur hier keine Wurzeln zeichnen, deswegen verwende ich die Ausdrücke aus der Informatik. Ich habe dazu geschrieben, was gemeint ist. Wenn du die Strecke hast, verwendest du die Formel bei dir ganz oben, um die Zeit zu errechnen. Strecke/Zeit ist schließlich die gewünschte Geschwindigkeit V.
Dann wäre die zurückgelegte Strecke 1118m, das schafft der Sack in 10s --> v= 118 m/s .. DIe lösung wäre 140 m/s
Ich hab mir die Aufgabe nochmal angeschaut und bin doch auf den Pythagoras gekommen:
v1 = gt = g * wurzel(2s/g) = wurzel(2gs)
nun der Pythagoras.
v = wurzel(v1²+vf²) = wurzel((9.81*10,1)^2+(1000m/10,1s)^2) = 140m/s.
Dieses Ergebnis kamen auch in anderen Foren raus :/
Oben meinen die anderen genau das Gegenteil:
Zitat
"Die Lösung ist: Du musst die Wurzel aus den Quadraten beider
Geschwindigkeiten ziehen, das ist mit dem Satz des Pythagoras gemeint.
Also wurzel((10s*9,81m/s^2)^2 + (100m/s)^2)"
in diesem Fall entsprechen also die Katheten den Geschwindigkeiten
und die Hypotenuse ergibt dann die Gesamtgeschwindigkeit des Sacks."
Ich bin jetzt verwirrt :(