Vwa zeitdilatation?
Hallo,
Ich muss nächstes Jahr die VWA schreiben und dachte beim Thema evt. An Zeitdilatation (Definition, Zeitdilatation durch Beschleunigung/Gravitation, Nachweise usw.)
Meint ihr das geht? Was kann man da für Leitfragen nehmen? Oder ist das zu schwer/viel?
Danke schonmal im Vorraus
3 Antworten
Hallo Xxxxx50988,
ein hochinteressantes Thema. Du kannst einen Akzent setzen, indem Du darauf hinweist, dass das Wort irreführend ist.
"Zeitdilatation" ist die Diskrepanz zwischen der Eigenzeit, der Zeitspanne Δτ = τ₁ − τ₂ zwischen zwei Ereignissen E₁ und E₂ in der Nähe einer Uhr Ώ (nach gr. ώρα (hora, Stunde), wie Ώ selbst sie direkt misst, und der U- Koordinatenzeit, der Zeitspanne Δt = t₂ − t₁, wie sie von einer Bezugsuhr U aus ermittelt*) wird.
Die Eigenzeit lässt sich geometrisch als Weglänge in der Raumzeit auffassen, die U- Koordinatenzeit lässt sich geometrisch als Projektion der Zeitspanne zwischen E₁ und E₂ auf die Weltlinie (WL, der Weg durch die Raumzeit) von U auffassen. Zugleich ist sie die Zeitachse eines von U aus definierten Koordinatensystems Σ.**)
Im Raum ist es alles andere als ungewöhnlich, dass sich eine Weglänge und eine Koordinatendifferenz voneinander unterscheiden; in der Raumzeit ist der NEWTONschen Mechanik (NM) zufolge jedoch Δt=Δτ.
Wir wollen annehmen, dass sich eine andere Uhr U' mit konstanter Geschwindigkeit v› = (vx | vy | vz) bewegt; der Einfachheit halber denken wir uns Σ so ausgerichtet (das geht immer, dass v› = (v | 0 | 0) ist.
Abb. 1: Vergleich der "Zeitdilatation" und auch der "Längenkontraktion" mit einer räumlichen Analogie
GALILEI meets MAXWELLBereits die NM kennt GALILEIs Relativitätsprinzip (RP), demzufolge wir physikalische Größen statt in Σ auch in einem von einer mit konstanter Geschwindigkeit relativ zu U bewegten Uhr U' aus definierten Koordinatensystem Σ' ausdrücken können, indem v›(U') natürlich gleich 0› und v›(U) = (−v | 0 | 0) ist.
Wie man sieht, nehmen bestimmte physikalische Größen dann andere Werte an, aber ihre grundlegenden Beziehungen untereinander (nichts anderes sind Naturgesetze) bleiben dieselben.
Zu den Naturgesetzen gehören freilich auch MAXWELLs Grundgleichungen der Elektrodynamik und damit auch seine elektromagnetische Wellengleichung mitsamt der Naturkonstanten c, da sie direkt daraus folgt. Deshalb muss die Wellengleichung in allen Koordinatensystem gelten. Was sich in Σ mit c bewegt, das bewegt sich auch in Σ' mit c und umgekehrt.
Der optische DOPPLER-Effekt und die "Zeitdilatation"Das RP verlangt, dass der optische DOPPLER-Effekt symmetrisch ist. Darauf beruht letztlich auch die "Zeitdilatation":
Zum Vergleich: Der akustische DOPPLER-Effekt ist asymmetrisch, da sich Schall mit einem in einem Medium mit charakteristischem Tempo cₛ relativ zu diesem Medium ausbreitet. Ansonsten gilt weitgehend die NM, da i.Allg. cₛ << c ist (In Luft etwas über 1,1×10⁻⁶∙c).
Ruhst nun z.B. Du relativ zum Medium und ich komme mit dem Tempo u < cₛ, z.B. 0,6∙cₛ, auf Dich zu, und schicken wir einander Tonsignale mit der Frequenz f₀, so empfange ich Dein Signal mit Zahlenbeispiel
(1.1) f₀(1 + u⁄cₛ) = 1,6∙f₀,
weil Das Signal auch mit cₛ + u auf mich zukommt. Du empfängst hingegen meine Signale mit
(1.2) f₀/(1 − u⁄cₛ) = 2,5∙f₀
da sich mein Signal nur mit cₛ − u von mir wegkommen und daher zusammengeschoben werden.
Das Echo seines jeweils eigenen Signals empfängt jeder von uns mit
(1.3) f₀(1 + u⁄cₛ)/(1 − u⁄cₛ) = 2,5∙1,6∙f₀ = 4∙f₀.
Ein ganz ähnlicher Faktor ergäbe sich im Weltall für das Echo eines Licht- oder Funksignals, nämlich, für v = 0,6∙c,
(2) f = f₀(1 + v⁄c)/(1 − v⁄c) =: K²∙f₀ = 4∙f₀.
Allerdings muss, wie gesagt, der optische DOPPLER-Effekt symmetrisch sein; jeder würde daher das Signal des jeweils anderen mit
(3) f₀∙K := f₀∙√{(1 + v⁄c)/(1 − v⁄c)} = 2f₀
empfangen. Wenn wir Dich weiterhin als stationär ansehen (obwohl wir das nicht müssen), würde ich aus der um den Faktor
(4) γ := 1/√{1 − (v⁄c)²} = 1,25
höheren Frequenz schließen, dass meine Uhr einen um diesen Faktor längeren Zeittakt haben muss. Du misst dagegen eine um den Faktor 1⁄γ = 0,8 kleinere Frequenz als erwartet, woraus Du schließen kannst, dass meine Uhr einen um den Faktor γ längeren Zeittakt haben muss und ich deshalb von vornherein Signale mit nur 0,8∙f₀ losschicke.
Sehen wir hingegen mich als stationär an, wären unsere Erwartungen – ohne "Zeitdilatation" – genau umgekehrt.
-- Baustelle --
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*) Eine direkte Messung ist von U aus i.Allg. nicht möglich, da die Ereignisse in i.Allg. unterschiedlichen Entfernungen von U stattfinden.
**) Sinnvollerweise sollte U eine Uhr sein, die nicht rotiert und keiner Beschleunigung (d.h. Änderung der Geschwindigkeit nach Betrag oder/ und Richtung) unterliegt, eine inertiale Uhr. Σ heißt dann ein Inertialsystem, und seine Zeitachse ist eine Gerade.
Ich würde mich gernerell nur auf die spezielle Relativitätstheorie stürzen, denn diese ist relativ einfach zu erklären und mathemtisch zu beschreiben. Die ART wird viel zu schwer sein, man kann sie zwar oberflächlich erklären, aber mathemtisch formulieren wird echt schwierig. Aber due kannst über die Auswirkungen der SRT schreiben
Auch ein Abstecher in die ART geht, wenn man sich auf die SCHWARZSCHILD- Metrik beschränkt. Die ist ziemlich einfach.
Kannst Du machen. Aber warum ein Thema, bei dem es nur Knoten im Kopf gibt? Warum nimmst Du nicht etwas handfestes, da sind ja auch viele spannende Themen bei.
Es gibt keinen Knoten im Kopf, wenn man sich klar macht, was es wirklich damit auf sich hat.