Voraussetzung für Drehsymmetrie?
Welche Bedingungen muss eine Figur genau erfüllen, damit sie drehsymmetrisch ist? Bitte keine Standard-Antwort à la: "Das ist eine Figur, die durch Drehung auf sich selbst abgebildet werden kann."
Ich verstehe es zum Beispiel dann nicht, wenn gefragt wird, ob jedes Achteck, das zwei Symmetrieachsen (bezüglich Achsensymmetrie) besitzt, drehsymmetrisch ist oder nicht. Woran kann ich festmachen, dass das nicht so ist, wie bei diesem Beispiel?
Hilfe wäre toll.
Danke im Voraus.
2 Antworten
Alle folgenden Behauptungen beziehen sich auf die Geometrie der Anschauungsebene.
A. pessimist18 gibt genau die allgemeine Regel an, wann eine Figur drehsymmetrisch ist. Die Verkettung zweier Spiegelungen ergibt immer eine Drehung, wenn die Spiegelachsen einander schneiden, und jede Drehung ist in zwei solche Spiegelungen zerlegbar. Das Trapez ist keine Ausnahme, denn dieses ist nicht drehsymmetrisch. (es gibt bei bewiesenen mathematischen Sätzen auch irgendwie wenige "Ausnahmen" ....;) )
B. Die Regel von pessimist18 lässt sich sogar noch schärfer fassen: Genau dann, wenn eine Figur zwei Symmetrieachsen besitzt, die den Winkel alpha zueinander einschließen, ist sie drehsymmetrisch zum Winkel 2*alpha.
Häufige Anwendung dieser schärferen Fassung: Eine Figur ist genau dann punktsymmetrisch, wenn sie zwei Symmetrieachsen besitzt, die zueinander senkrecht stehen (:= ..., wenn sie zwei orthogonale Symmetrieachsen hat).
C. Beweis der Regel mittels analytischer Geometrie: Multiplikation zweier Spiegelmatrizen gibt unter Anwendung der Additionstheoreme eine Drehmatrix.
Danke für diese klare Antwort. Jetzt habe ich es verstanden :). Vielen Dank.
"Eine Figur ist genau dann drehsymetrisch, wenn sie bei einem Drehwinkel von 0°<a<360° mindestens 1-mal wieder genau gleich aussieht, also identisch mit der Urfigur ist.."
Das heißt logisch betrachtet: Hat eine Figur mehr als 1 Symetrieachse, so ist sie drehsymetrisch. Einige Beispiele:
- Rechteck: EIn Rechteck besitzt 2 Symetrieachsen. Es ist also drehsymetrisch, da es sich einmal für 0°<a<360° identisch darstellen läßt. Dies ist nähmlich genau bei a=180° der Fall
- Gleichseitiges Dreieck: besitzt 3 Symetrieachsen. läßt sich bei a=120° und a=240° identisch darstellen ==> ist drehsymetrisch
- Quadrat: besitzt 4 Symetrieachsen, läßt sich bei a=90°,180°,270° identisch darstellen ==> ist drehsymetrisch
- Achteck mit 2 Symetrieachsen: läßt sich genau 1mal, nähmlich für a=180° identisch darstellen ==> ist drehsymetrisch
- Achteck mit 1 Symetrieachse: läßt sich nicht anders identisch darstellen. ==> ist nicht drehsymetrisch
- gleichseitiges Trapez: besitzt nur 1 Symetrieachse, läßt sich bei Drehung nicht identisch für 0°<a<360° darstellen ==> ist nicht drehsymetrisch
Nützlicher Link: http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Parkett/pages/node16.htm
Danke für die Hilfe. Aber dein Merksatz zu Beginn geht ja schon beim Trapez nicht auf. Was ist dann mit anderen Figuren, die eine Symmetrieachse besitzen?
Ansonsten ist die Auflistung aber eine tolle Hilfe. Danke.