Verdopplungszeit?
Einen Insektenart vermehrt sich wöchentlich um 25%. Jemand behauptet, dass sich daher die Insektenanzahl alle 4 Wochen verdoppelt. Zeige, dass die Behauptung falsch ist, indem du die tatsächliche Verdopplungszeit ausrechnest.
Kann mir bitte irgendwer die Formel dazu aufstellen und eine Erklärung dazuschreiben? Ich verstehe es einfach nicht und dieses Beispiel war bei der Schularbeit, die negativ beurteilt wurde.
lg
3 Antworten
Die Anzahl wächst pro Woche um den Faktor 1,25 also nach n Wochen um den Faktor 1,25^n. Und das soll nun 2 ergeben. Das heißt 1,25^n = 2. Nach n auflösen ergibt n = log(2)/log(1,25) = 3,1. Das heißt nach ca 3 Wochen verdoppelt sich jeweils die Anzahl. Das ^ heißt hoch.
Nach einer Woche: 1,25
Nach 2 Wochen 1,25 x 1,25
Nach 3 Wochen: 1,25 x 1,25 x 1,25
Nach 4 Wochen 1,25 x 1,25 x 1,25 x 1,25 Und das ist definitiv mehr als 2.
Zur Berechnung der Verdopplungszeit benötigst Du die Exponentialfunktion und dann den Logarithmus. Mehr Tipps kann und will ich nicht geben, damit das Lösen der Hausaufgabe doch noch Deine Denkleistung ist.
Wie Du am o.a. Beispiel siehst heißt die Formel für die Zeitfunktion Insektenzahl = 1,25 hoch t (wobei t in Wochen angegeben wird.
Wenn Du nun für die Insektenanzahl die Zahl 2 einsetzt, da Verdopplung, erhälst Du:
2 = 1,25 hoch t
Bildes du nun auf beiden Seiten den Logaritmus, dann erhälst Du:
log(2) = t x log(1,25)
und damit t = log(2) / log(1,25)
Dabei ist es sogar egal welchen Logarithmus (Basis) du verwendest, denn dessen Beitrag kürzt sich raus.
Annahme: 100 Insekten:
1. Woche: 100 + 25% = 125 Insekten
2. Woche: 125 + 25% = 156 Insekten
3. Woche: 156 + 25% = 195 Insekten
Fürs Verständniss, die Formel solltest du allerdings selbst herleiten können, sonst wärs ja keine Hausaufgabe...
Ansonsten mal nach Zinseszins gucken, is der gleiche Effekt...
Es ist keine Hausübung, sondern eine Schularbeit die negativ ist. Ich schaffe es nicht und ich brauche eine Erklärung weil ich am Dienstag Prüfung habe. Mir fehlt genau der Teil mit der Exponentialfunktion.