Vektorenschar: Geradengleichung aufstellen?
Hi Leute,
kann mir jemand bei dieser Aufgabe bitte erklären wie ich das lösen kann? Außer zwei Geradengleichungen habe ich nichts. :/
Es wird vermutet, dass der Schatten der Pyramitenspitze S(10/70/120) zur Sommersonnenwende auf dem verschütteten Eingang einer Tempelanlage weist. Die Schar der Sonnenstrahlen lässt sich als Vektorschar
v(t) =
- 5 + 2t;
- 100 -3t;
- -12+4t ;
mit t = [0;8] darstellen. Ermitteln Sie eine Geradengleichung der Schattenlinie auf die x-y-Ebene.
Vielen Dank für Antowrten.
lg
3 Antworten
Hallo,
hast Du Dir mal vor Augen gestellt, was hier genau in der Aufgabe beschrieben ist?
Du hast eine Pyramide, die bei Tag und schönem Wetter einen Schatten wirft.
Der Schatten ist dreieckig und die Spitze des Dreiecks ist der Schatten der Pyramidenspitze.
Bei Sonnenaufgang ist der Schatten noch sehr lang, wird im Laufe des Vormittags immer kürzer, ist zu Mittag, wenn die Sonne ihren höchsten Punkt erreicht hat, am kürzesten und wird nachmittags und gegen Abend hin wieder länger.
Wenn Du jeweils die Spitze des Schattens zu unterschiedlichen Uhrzeiten markierst und sie anschließend mit einer Linie verbindest, bekommst Du normalerweise eine Kurve heraus, die nah an der Pyramide vorbeiführt.
Hier aber sollen die Verbindungspunkte eine Gerade ergeben.
Das ist zur Zeit der Sommersonnenwende nur möglich, wenn die Pyramide genau auf dem nördlichen Wendekreis steht. Dann nämlich geht die Sonne morgens exakt im Osten auf, steht mittags genau im Zenit, so daß die Pyramide überhaupt keinen Schatten mehr wirft und geht abends exakt im Westen unter, so daß die Verbindungslinie der Schattenspitzen zu unterschiedlichen Uhrzeiten eine Gerade ergibt, die in West-Ost-Richtung genau durch die Mitte der Pyramide verläuft.
Genau diese Situation ist hier geschildert.
Du hast die Koordinaten der Pyramidenspitze und Du hast die Richtungsvektoren der Sonnenstrahlen, die durch die Pyramidenspitze gehen.
Der Boden, auf dem die Pyramide steht, ist hier die xy-Ebene, deren Normalenform n*(rs-r0) lautet.
Ein Normalenvektor dieser Ebene ist der Einheitsvektor der z-Achse (denn die steht senkrecht auf der x- und der y-Achse), also (0/0/1)
rs ist irgendein Punkt auf der Ebene, hier: der Schatten der Pyramidenspitze zu einer bestimmten Uhrzeit t (t ist die Anzahl der Stunden, die seit Sonnenaufgang vergangen sind, wobei in der Aufgabe die Zeit zwischen 6 Uhr morgens (Sonnenaufgang) und 2 Uhr mittags (Sonne hat den Zenit seit zwei Stunden überschritten) betrachtet wird.
r0 ist ein fester Punkt in der xy-Ebene (jeder Punkt, dessen z-Koordinate 0 ist, liegt innerhalb der Ebene, z.B. der Punkt (1|1|0).
Um die Gerade zu bestimmen, die die Schattenspitze durch die xy-Ebene zieht, reicht es aus, zwei Schnittpunkte zu bestimmen und daraus die Geradengleichung.
Dazu gibst Du in der Gleichung der Sonnenstrahlvektoren einfach zwei unterschiedliche Werte für t ein, etwa 0 und 1.
Der Stützvektor der Sonnenstrahlen ist jedesmal die Pyramidenspitze, der Richtungsvektor ist m*(5+2t/100-3t/-12+4t), für t=0 also m*(5/100/-12) und für t=1 m*(7/97/-8)
Aufpunkt ist natürlich (10/70/120)
Du brauchst also nur noch die beiden Schnittpunkte S1 und S2 der beiden Vektoren mit der xy-Ebene zu bestimmen und aus ihnen eine Geradengleichung der Form
S1+k*(S2-S1) zu basteln.
Den Schnittpunkt zwischen einer Geraden und einer Ebene findest Du nach folgender Formel:
rs=r1+[n·(r0-r1)/(n·a)]·a, wobei r0 ein fester Punkt in der Ebene ist, etwa (1/1/0), r1 der Aufpunkt des Vektors, also (10/70/120) und a der Richtungsvektor der Geraden, also (5+2t/100-3t/-12+4t), wobei Du für t zwei Werte zwischen 0 und 8 einsetzen kannst, wie 0 und 1 etwa.
n ist wieder der Normalenvektor der Ebene, also (0/0/1)
Herzliche Grüße,
Willy
Vielen vielen Dank - hast mir sehr geholfen. :-)
Ist das die ganze Aufgabe?
Mein Ansatz:
Die Geradengleichung muss erfüllen:
1. Komponente: 5+t*2
2. Komponente: 100-t*3
3. Komponente: -12+t*4
Daraus ergibt sich dann:
( 5 ) ( 2 )
g: x= (100) + t * (-3 )
(-12 ) ( 4 )
Wobei, vielleicht ist das auch Quatsch.
Anlass zu diesem Gedanken bietet die Angabe, dass es sich um eine Vektorenschar handelt, t also keine Variable, sondern ein unabhängiger Parameter ist.
Ich denke, dass die Schattenlinie gesucht ist, welche von der Spitze aus verläuft, d.h. S ∈ g und v(t) ist Richtungsvektor. Daraus ergibt sich:
( 10 ) ( 5+2t )
g: x= ( 70 ) + r * ( 100-3t )
( 120 ) (-12+4t )
Hi, danke für die Antwort :) Hier ist die gesamte Aufgabe, vllt. hilft das weiter: https://picload.org/image/rcirwppw/20170429_232548.jpg
Trenne auf: Stützvektor ist konstant (5;100;-12), Richtungsvektor besteht aus den Koeffizienten von t: (2;-3;4).
Ach, jetzt hab ich die Aufgabe auch verstanden, habe das Wort "Schattenlinie" dezent ignoriert.