Ungleichungen und Schnittpunkt von Linearen funktionen?
Heeyy ihr!
Ich habe ein kleines Problem, und zwar schreibe ich bald eine Mathearbeit und in der Arbeit kommen folgende Themen vor:
1.Ungleichungen 2.Schnittpunkt von Linearen funktionen 3.Graphen zeichen
Und jetzt zum Problem ... ich kann Ungleichungen und Schnittpunkte von Linearen funktionen garnicht!!!!! Bitte helft mir!! 😳😳😘 ich danke euch 😉😍
3 Antworten
Ungleichungen im "Schnelldurchgang", hierbei dreht sich stets alles um das "größer" und "kleiner", Beispiel:
x > 3 (" x größer 3"), dies sagt aus, dass x größer als 3 ist, also Zahlen wie 3.1, 3.001, 3.0000000000001, 9000000 aber nicht 3 oder Zahlen kleiner 3.
Eine Zahl ist größer als eine andere wenn die Differenz der beiden positiv ist, Beispiel:
Zahl1 - Zahl2 > 0 genau dann wenn Zahl1 größer als Zahl2 ist
Zahl1 - Zahl2 < 0 genau dann wenn die Zahl1 kleiner als Zahl2 ist
Zahl1 - Zahl2 = 0 genau dann wenn die Zahl1 gleich Zahl2 ist
Ebenso gibt es noch das ">=" ("größer oder gleich") oder das "<=" ("kleiner oder gleich"), auch hier gilt wieder die Veranschaulichung durch die Differenz:
Zahl1 - Zahl2 <= 0 genau dann wenn Zahl1 ist kleiner oder gleichgroß wie Zahl2
Zahl1 - Zahl2 >= 0 genau dann wenn Zahl1 ist größer oder gleichgroß wie Zahl2
Mit Ungleichungen lässt es sich eigentlich ähnlich rechnen wie mit normalen Gleichungen, jedoch muss man auf ein paar Dinge achten:
1.) Multiplikation mit negativen Zahlen:
Beispiel: 3 > 2 (da 3 - 2 = 1 und positiv)
3 > 2 II *(-1)
-3 < -2 Bei der Multiplikation mit negativen Zahlen dreht sich das Größer/Kleiner-Zeichen um. Also gilt:
Zahl1 - Zahl2 < 0 II *(-1)
---> Zahl2 - Zahl1 > 0
2.) Multiplikation mit Variablen:
Dies liegt in 1.) begründet, auch hier wieder ein Beispiel:
3*a/c < 6 II *c
Hier muss nun eine Fallunterscheidung getroffen werden, da c ja sowohl negativ als auch positiv sein kann:
Also 3*a < 6*c (mit c > 0) oder 3*a > 6c (mit c < 0)
Sollte am Ende ein Ergebnis herauskommen, zum Beispiel ein Ergebnis für c im zweiten Fall für c < 0, wobei das Ergebnis selber positiv ist, so würde das Ergebnis im Widerspruch zur Annahme stehen, dass c < 0 ist und somit wäre die erhaltene Lösung für c keine gültige Lösung, gleiches gilt, wenn die Menge von möglichen Lösungen für c beschränkt wäre und die erhaltene Lösung außerhalb der Schranken liegt.
Ansonsten hier noch ein paar simple Beispielrechnungen zur Veranschaulichung:
3 > 2 II -2 ----> 1 > 0
3 > 2 II *1/6 ---> 1/2 > 1/3
-3 < 2 II *1/6 ----> -1/2 < 1/3 II *(-1) ---> -1/3 < 1/2
a + b - c < 0 II + c ---> a + b < c
Einen Haufen weitere Informationen und Beispiele liefert dir hierzu zum Beispiel folgende Seite wie noch etliche andere unter dem Schlagwort "Ungleichungen" in Google:
http://www.mathebibel.de/ungleichungen
Alternativ gibt es noch Youtube-Channels mit genügend Erklär- und Beispielvideos wie "TheSimpleMaths" oder "Mathe by Daniel Jung".
Nun noch im "Schnelldurchgang" Schnittpunkte von linearen Funktionen:
Lineare Funktionen haben im allgemeinen stets die Gestalt:
y = m*x + n
Dabei wird m hier als Steigung bezeichnet und n als Y-Achsenabschnitt
Alternativ kann man der Funktion auch einen Namen geben und zeigen, dass sie nur von der Variable x abhängig sein soll, man schreibt in diesem Falle zum Beispiel:
g(x) = mx + n
"Die Funktion g von x" oder "Die Funktion g in Abhängigkeit von x"
Da es hier nur um Schnittpunkte gehen soll gehe ich jetzt nicht mehr näher auf die Bedeutung der einzelnen Parameter wie die Steigung oder den Y-Achsenabschnitt ein. Hierzu verweise ich einfach wie auf Google und Schlagwörter wie "Lineare Funktionen" oder "Lineare Gleichungen", sowie auf oben genannte Youtube-Kanäle etc. .
Also angenommen wir hätten 2 lineare Funktionen g und f , welche sich in einem Punkt schneiden, dies ist der Fall wenn die Steigungen von beiden unterschiedlich ist oder der falls sie die gleiche Steigung besitzen der Y-Achsenabschnitt der gleiche ist. Sei also:
g(x) = mx + n m = Steigung von g und n = Y-Achsenabschnitt von g
f(x) = ax + b a = Steigung von f und b = Y-Achsenabschnitt von f
Ein Schnittpunkt zeichnet sich dadurch aus, dass dieser auf beiden Geraden liegt. Angenommen der Schnittpunkt S hätte mal folgende Koordinaten
S = ( Sx | Sy)
Dann gilt aufgrund obiger Charakteristik für einen Schnittpunkt:
f(Sx) = Sy und g(Sx) = Sy
Damit folgt:
f(Sx) = Sy = g(Sx) ----> f(Sx) = g(Sx)
Dies ist der 1.) Schritt zur Berechnung des Schnittpunktes, das Gleichsetzen beider Gleichungen. Wir erhalten also:
f(Sx) = g(Sx)
a*Sx + b = m*Sx + n
Diese Gleichung wollen wir nun nach der gesuchten Größe Sx, der X-Ordinate des Schnittpunktes auflösen, es gilt also nach Sx umzuformen:
a*Sx + b = m*Sx + n II - b
a*Sx = m*Sx + n - b II - m*Sx
a*Sx - m*Sx = n - b II Ausklammern von Sx
(a - m)*Sx = n - b II *1/(a - m)
Sx = (n - b)/(a - m)
Damit hätten wir nun Sx bestimmt. Es gilt nur noch Sy zu bestimmen, damit wir die Koordinaten des Schnippunktes S der beiden linearen Funktion f und g kennen. Es gilt ja: f(Sx) = g(Sx) = Sy
Daher ist es egal in welche Funktion wir nun unser erhaltenes Sx einsetzen.
Mit Sx = (n - b)/(a - m) eingesetzt in g(Sx) = Sy folgt also:
g((n - b)/(a - m)) = m*(n - b)/(a - m) + n
Damit lauten also die Koordinaten eines Schnittpunktes der beiden Gleichungen wie folgt:
S = ( Sx = (n - b)/(a - m) | Sy = m*(n - b)/(a - m) + n )
Um das ganze "Buchstabenchaos" anschaulicher zu machen empfehle ich dir zum Beispiel mal Werte für a,b,m,n einzusetzen, ich gebe dir mal ein paar Beispielwerte vor:
a = { 1, 2, 3, 4} m = { 2, -2, -3, 3}
b = { 1, 4, 8, 16} n = {0, 2, 10, 12}
Wenn du dann deine Ergebnisse überprüfen willst gibst du einfach mal in Google: "Wolfram Alpha" ein, du gehst auf die Seite und gibst dort die Gleichung in folgdender Form ein:
mx + n - ax - b = 0 wobei du für die Variablen bis auf x deine gewünschten Zahlenwerte eingesetzt haben musst. Die richtige Lösung für x, welche ja Sx entspricht, findest du dann unter "Solution" (engl: Lösung), dort wird dann etwas stehen der Form: x = Zahl wobei Zahl der Lösung entspricht. Diese gilt es dann für Sy nur noch in eine der Funktion einzusetzen und das Ausrechnen kann jeder Taschenrechner.
Hier mal ein Beispiellink zu einer solchen Aufgabe bei Wolfram-Alpha:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=3x+%2B+2+-+6x+-+9+%3D+0
ungleichungen sind doch relativ einfach.
Einzige , was man sich da merken muss, ist dass sich das symbol umkerht wenn man mit ner negativen zahl multipliziert (also aus < wir > und umgekehrt)
ansonsten kannst du da haargenau die gleichen umformungen machen wie bei nem gleichheitszeichen.
und wie üblich nach x (oder wie die variable heißt) auflösen.
schnittpunkte...
Naja, halt gleichsetzen und auflösen.
ist bei linearen funktionen jetzt kein kunststück.
Zeichnen...
bei linearen funktionen recht einfach.
bei nkomplexeren sachen einfach ne wertetabelle oder so machen
Bei Ungleichungen rechnest du genauso, wie mit normalen Gleichungen. Einziger Unterschied ist, dass man das Ungleichheitszeichen umdreht, wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert (also mal oder durch rechnet.)
Zu linearen Funktionen gibt es ein Arbeitsblatt wo alle Aufgaben vorgerechnet werden. Da ist auch die Berechnung von Schnittpunkten dabei: