Was ist der Zusammenhang von Taylorreihe und der exponentialfunktion?
Kurz vorab: Ich bin ein Laie, was die Mathematik betrifft. Ich habe nicht das nötige Verständnis, um tiefgehende Verbindungen zu erkennen.
Jedoch scheint mir die allgemeine Taylorreihe einer Funktion f(x) um die Stelle x = 0 äußerst ähnlich zur Taylorreihe der Exponentialfunktion. Ist das bloß Schein? Demnach müsste die Taylorreihe ja mit der Exponentialfunktion des Differentialoperators beschrieben werden können, was bedeuten würde, dass unendliche Verschiebungen als Summe unendlich kleiner Verschiebungen betrachtet werden können. Funktioniert so die physikalische Beschreibung von Transformationen kontinuierlicher Systeme?
Hier mein Versuch einer besseren Darstellung
Was meinst du mit der allgemeinen Taylorentwicklung?
Mit allgemein meine ich eine Funktion F(x). In diesem Fall um den Punkt x = 0
1 Antwort
Die Exponentialfunktion kann in x=0 in eine Potenzreihe entwickelt werden (Taylor-Reihe). Weil in diesem Punkt alle Ableitungen gleich 1 sind, ist diese Taylor-Reihe besonders einfach. Die "Ähnlichkeit" besteht in den Potenzen x^n und den Fakultäten im Nenner. Die Ableitungen machen den Unterschied.
Das was du im weiteren Verlauf schreibst, ist mir zu abgefahren (Exponentialfunktion des Differentialoperators, unendliche Verschiebungen, Transformationen kontinuierlicher Systeme), da darfst du gerne noch etwas präziser werden.
Okay, habe einfach die Bilder hochgeladen
Ich hätte selbst darauf kommen können, dass niemand jetzt genau weiß, was ich wissen möchte, wenn die Frage ohne Konkretisierung auskommt. Willst du wirklich meine Gedanken mathemathisch formuliert dargestellt haben? Puhh... Hab das alles zwar auf Papier geschrieben, aber dann muss ich es hier abtippen und das wird nicht sauber sein xD