Summe aller natürlichen Zahlen?
Guten Abend,
ich habe mal davon gelesen, dass ein Beweis dafür kursiert, dass die Summe aller natürlichen Zahlen -1/12 ist bzw. dass dieser Summe der Wert -1/12 zugeordnet wird. Ich habe auch auf verschiedenen Seiten gehört, dass der Beweis fehlerhaft ist und diese Summe logischerweise keinen Grenzwert hat, sondern gegen unendlich strebt. Wenn man dieser Summe den Wert -1/12 zuordnet, so hieß es auf einigen Seiten, habe das sogar praktische Anwendungen in der Physik. Anderswo heißt es, dass die Summe zwar nicht gleich ist mit -1/12, da aber dennoch Zusammenhänge bestehen.
Ich weiß leider nicht mehr auf welchen Seiten genau ich das gesehen habe und wie vertrauenswürdig die sind.
Meine Fragen wären also: Existiert dieser "Beweis"? Ist er korrekt oder gibt es Fehler? Was genau sind die Fehler? Was ist die Grundidee des Beweises bzw. wie könnte man ihn in wenigen Sätzen zusammenfassen? Welche Zusammenhänge bestehen zwischen der Summe aller natürlichen Zahlen und der Zahl -1/12? Welche praktischen Anwendungen hätte -1/12 als Ergebnis/Grenzwert der Summe?
Falls eine der früheren Fragen mit Nein beantwortet wird, ergeben die restlichen vermutlich nur noch wenig Sinn, ich bin dennoch sehr gespannt auf die Antworten. Dieses Thema beschäftigt mich schon seit einer Weile und ich wollte einfach mal Gewissheit.
Vielen herzlichen Dank für Eure Antworten und einen schönen Abend/ eine gute Nacht!
Liebe Grüße
4 Antworten
Nein, nein, nein, nein, nein, nein... Es geht dort im eine sehr berühmt berüchtigte Identität von Srinivasa Ramanujan. Sie stimmt natürlich nicht. Es ist eine Summationsmethode von Ramanujan, um die Riemannsche Zeta Funktion auf alle Komplexen Zahlen auszuweiten und um sie konvergent zu machen. Dies ist in dem Falle das Ergebnis der Ramanujan Summation der Zeta Funktion von - 1. LG
Die Riemannsche Zeta-Funktion summiert die Kehrwerte von Potenzen aller natürlicher Zahlen:
Diese Summe konvergiert für x > 1. Die Funktion lässt sich "holomorph" auf die gesamte "komplexe Zahlenebene" ohne den Punkt 1 fortsetzen (sie hat dort natürlich auch andere Summendarstellungen).
Im Punkt -1 nimmt die Funktion den Wert -1/12 an.
Da 1/(n^(-1)) = n ist, wird obige Summe an der Stelle -1 formal(!) zur Summe aller natürlichen Zahlen. Die Gleichsetzung folgt aus dem Ignorieren des Unterschiedes zwischen einem symbolischen Ausdruck und einer mathematisch sinnvollen Summe.
Die Formel zur Summe aller natürlichen Zahlen wurde der Geschichte nach von Gauß entwickelt. Seiner Zeit sollte er die Zahlen von 1 bis 100 summieren.
Das tat er, indem er gleich große Teilsummen aus der letzten und der ersten Zahl, der zweiten und vorletzten, usw, bildete.
Wenn man das Ganze ein bisschen verallgemeinert, erhält man für die Summe der ersten n natürlichen Zahlen
n(n+1)/2,
welche auch als kleiner Gauß bekannt ist.
Diese Formel ist dann mithilfe des Induktionsbeweises beweisbar.
Natürliche Zahlen liegen alle im Positiven Bereich d.h. größer gleich 0. Wüsste nicht wie man auf den Wert kommt.
Nicht wirklich. Es gibt einen ernsthaften mathematischen Hintergrund.
... Du hast unsere Konversation vorher nicht mitbekommen, aber egal...
Ja, ist nen Mathe Witz