Stochastik/Wahrscheinlichkeitsrechnung 8 Schalter aus 24?
Nehmen wir an, ich habe 24 Schalter, von denen 8 in einer bestimmten Reihenfolge betätigt werden müssen. Lege ich den falschen Schalter um, klappen alle Schalter wieder auf aus. Der richtige bleibt oben, wenn der zweite jedoch falsch ist, klappen beide nach unten und man muss von vorne beginnen.
Wie viele Fehlversuche sind maximal möglich?
Chat GPT sagt:
Vorgehen:
- Wenn der erste Schalter gefunden wird, bleibt er oben. Die Chancen stehen bei 1 zu 24.
- Im nächsten Versuch ist es nur noch 1 zu 23, da der erste Schalter bereits in der richtigen Position bleibt.
- Wenn ein Versuch falsch ist, beginnt man wieder beim ersten Schalter.
Berechnung:
Die maximale Anzahl der Versuche, die benötigt wird, um die richtige Kombination zu finden, kann berechnet werden als die Summe der ersten 24 natürlichen Zahlen.
Die Formel für die Summe der ersten 𝑛
n natürlichen Zahlen ist:
𝑆=𝑛×(𝑛+1)2
S=2n×(n+1)
Hier ist 𝑛=24
𝑆=(24×(24+1))/2
𝑆=300
Zeitberechnung:
Angenommen, der längste Weg zwischen den Schaltern dauert 20 Sekunden. Die maximale Zeit, die benötigt wird, um alle Versuche durchzuführen, beträgt:
300×20 Sekunden=6000 Sekunden
300×20 Sekunden=6000 Sekunden
6000 Sekunden=100 Minuten
6000 Sekunden=100 Minuten
100 Minuten=1𝑆𝑡𝑢𝑛𝑑𝑒𝑢𝑛𝑑40𝑀𝑖𝑛𝑢𝑡𝑒𝑛
100 Minuten=1Stundeund40Minuten
Zusammenfassung:
Die maximale Anzahl der Versuche, die benötigt wird, um die richtige Kombination von 24 Schaltern zu finden, beträgt 300. Wenn jeder Versuch 20 Sekunden dauert, beträgt die maximale Zeit 1 Stunde und 40 Minuten.
2 Antworten
Hallo,
Du kannst auf (24 über 8)=735471 unterschiedliche Arten acht Schalter aus 24 auswählen.
Da Du jede dieser Kombinationen in 8!=40320 unterschiedlichen Reihenfolgen betätigen kannst, ergibt das fast 30 Milliarden Versuche, von denen ein einziger zum Erfolg führt. Da kann man besser Lotto spielen.
Herzliche Grüße,
Willy
Stimmt aber auch nicht. Es müssen viel weniger sein bei genauerem Nachdenken.
Die Multiplikationen von mir bezogen sich darauf, daß man blind versuchen muß, bis man alle Schalter in der richtigen Reihenfolge gefunden hat und zwischendurch keine Rückmeldung bekommt.
Die hast Du aber.
Schlimmstenfalls ist Schalter Nr. der., den Du drückst. Dann hast Du 23 mal falsch gedrückt.
Nun weißt Du aber, wo Schalter Nr. 1 ist und kannst Dich auf die Suche nach Nr. 2 begeben. Falls Du eine Taste drückst, die nicht belegt ist, passiert nun nichts. So eine Taste kannst Du streichen. Falls Du Schalter 2 erwischst, bleibt er oben und Du kannst die Nr. 3 suchen. Erwischst Du einen anderen als Nr. 2, klappen beide Schalter wieder zurück und Du weißt, daß der andere nur Nr. 3 bis Nr. 8 sein kann.
Da die meisten nicht belegten Schalter schon bald bekannt sind, hast Du gar nicht mehr so viele Versuche, weil Du die aussichtslosen Kandidaten nicht mehr drücken mußt. Beim zweiten Durchgang stößt Du spätestens nach 16 Schaltern entweder auf die Nr. 2 oder auf die Nr. 3 bis 8.
In diesem Fall bleiben nur noch sechs Schalter übrig, von denen einer Nr. 2 sein kann. Den hast Du dann nach höchstens fünf Fehlversuchen gefunden. Für Nr. 3 bleiben höchstens noch 4 usw. Summa Summarum sollten 60 Versuche reichen plus die richtigen Schalter, die man nach jedem Fehlversuch mit einem falschen Schalter noch einmal hochklappen muß. Da man jetzt ja weiß, wo sie sind, ist das kein Akt.
Aber wenn ich den ersten gefunden habe, bleiubt der oben. D.h. im ersten Versuch stehen die Chance bei 1 zu 24. Im Nächsten ist es dann nur noch 1 zu 23. Wenn der Versuch falsch ist, fange ich einfach beim ersten wieder an, dann ist die chance beim zweiten Schalter schon nur noch 1 zu 22 (weil einer ist oben und der andere ist falsch) usw.
So meinte ich das.
Dann hast Du schlimmstenfalls 23! Fehlversuche, wenn Du auch die richtige Reihenfolge erwischen mußt. Daß Du neu anfangen mußt, falls die bisherigen Schalter wieder umklappen, tut nichts zur Sache. Wenn Du einmal weißt, wo sie sind, kannst Du sie ja direkt wieder betätigen und weitersuchen.
Das wären allerdings wesentlich mehr Versuche, als wenn Du auf gut Glück acht Schalter auswählen würdest und Reihenfolgen durchprobieren würdest.
Du fängst an, mit Wahrscheinlichkeiten zu rechnen und zu argumentieren, bevor die Kombinatorik gelöst ist. Es gibt unter 29.654.190.720 Möglichkeiten genau 1 einzige, die zum Erfolg führt und daher musst Du im schlimmsten Fall 29.654.190.719 Möglichkeiten durchprobieren.
Korrigiere mich: Es sind höchstens 23!/15! Versuche, da nach dem Finden des achten Schalters Schluß ist.
In diesem Fall müßtest Du höchstens knapp 20 Milliarden mal auf einen Schalter drücken. Das kann sich etwas ziehen. Aber wer sonst nichts vor hat...
Was passiert beim ersten Schalter? Bleibt der nur oben, wenn er der richtige ist? Dann hast du hier maximal 23 Fehlversuche.
Du merkst dir den ersten, beim zweiten hast du dann maximal 22 Fehlversuche.
Usw.
Für 8 Schalter: 23 x 22 x 21 x 20 x 19 x 18x 17 x 16 = 23! / (23-8)!
Ich glaube, eine Multiplikation ist hier nicht angebracht, sondern eher eine Addition. Du tippst die Schalter ja nicht wie beim Lotto in einem Rutsch und erfährst erst dann, ob Du richtig lagst oder falsch, sondern Du bekommst sofort eine Rückmeldung. Wenn Du einen Lottoschein ausfüllen würdest und ein allwissender Spielleiter würden Dir sagen, daß Du die 2 und die 29 richtig getippt hast, wirst Du diese beim zweiten Versuch auf jeden Fall wieder ankreuzen und die falsch getippten nicht mehr. Du bräuchtest dann aus den restlichen 43 Zahlen noch vier anzukreuzen und hättest entweder wieder einen oder mehr Treffer gelandet oder auch keinen. Dann wären es aber nur noch vier aus 39 usw. So würdest Du nach relativ wenigen Versuchen alle sechs Zahlen gefunden haben.
Danke allerseits, ich habe Chat GPT gefragt, er hat mir dann alles schön vorgerechnet mit Formal und alles :)