Steckbrief Aufgabe 4 Eigenschaften finden?
Für die Variante 1 von C bis B habe ich zwei eigenschaften:
f(0) =2, f(4) = 0 ( Die Punkte C und B) Wie komme ich auf die anderen beiden Eigenschaften? :Die Rutsche schließt in C und B knick frei an die waagerechten Stücke an.
Bei Variante 2 habe ich alle 4 Eigenschaften bin mir aber nicht sicher ob die richtig sind:
f (0) = 2 f (4,5) =0 ( Die Punkte C und D) und f(0) = 0 f(4,5) = 0. Weil die Steigung an Punkt C und D = 0 ist
2 Antworten
Hi,
Bei der Funktion I hast du gegeben:
- schließt in B knickfrei an
- schließt in C knickfrei an
- Polynom 3. Grades
Es gilt also:
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
d = 2 kannst du direkt aus der Zeichnung entnehmen.
Wenn Funktionen knickfrei anschließen, heißt das: Die Steigungen der Funktionen müssen dort gleich sein, die Rutschengleichung ist stetig und differenzierbar (hat also keine Löcher, Knicke und kann an jeder Stelle abgeleitet werden).
Die Punkte B und C sind:
B(4|0) und C(0|2)
Die erste Ableitung an diesen Stellen muss also null sein:
f'(4) = 0 und f'(0) = 0:
0 = 48a + 8b + c
0 = c
Das heißt der Term cx fällt weg, wir erhalten:
0 = 48a + 8b
Jetzt nehmen wir uns einen der Punkte, setzen ihn in die allgemeine Gleichung von f(x) mit c = 0 und d = 2 ein und erhalten:
0 = 64a + 16b + 2
Wir haben zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, das LGS lässt sich also einfach lösen:
0 = 48a + 8b
-8b = 48a
b = -6a
Diesen Wert für b setzen wir in die zweite Gleichung ein und lösen nach a auf:
0 = 64a + 16(-6a) + 2
-2 = -32a
a = 1/16
Daraus ergibt sich: b = -3/8
Und wir erhalten als Funktionsgleichung sowie Ableitungen:
f(x) = 1/16 x³ - 3/8 x² + 2
f'(x) = 3/16 x² - 3/4 x
f''(x) = 3/8 x - 3/4
Probe, ob alles passt, erhalten wir durch die Punkte:
f(0) = 2 => passt
f'(0) = 0 => passt, erster Punkt ist "verifiziert".
f(4) = 0 => passt
f'(4) = 0 => passt, auch der zweite Punkt ist verifiziert.
Um nun die maximale Steigung der Rutsche zu ermitteln, berechnest du den Punkt mit der größten Steigung, d.h. den Wendepunkt. Den erhältst du durch Nullsetzen der zweiten Ableitung, der x-Wert reicht uns vollkommen:
f''(x) = 0:
3/8 x - 3/4 = 0
x = 2
Das kann man sich aber auch so herleiten, da der Wendepunkt mittig zwischen den Extrema liegt (die bei x = 0 und x = 4 zu finden sind).
Diesen x-Wert setzen wir in die erste Ableitung ein. Denn wir wissen jetzt, wo der Wendepunkt liegt, aber nicht, welche Steigung die Funktion an diesem Punkt hat:
f'(2) = 3/16*2² - 3/4*2
= -0,75
Das heißt, das Gefällt liegt bei 75% und damit im Rahmen.
Nun hast du alles, was du benötigst - probier mal die zweite Gleichung selbst! Die Bedingungen sind:
- f'(0) = 0
- f'(4,5) = 0
- d = 2
Die Lösung können wir dann gern kontrollieren.
LG
Sie sind fast richtig, bei den letzten beiden Eigenschaften fehlen die Apostrophe: f'(0) = 0 und f'(4,5) = 0. Das meinst du ja vermutlich auch, weil du die Begründung richtig geliefert hast.
Weil die Funktion knickfrei am Punkt C übergeht, muss an dieser Stelle die Steigung (d.h. die erste Ableitung) null sein. Es gilt also f'(0) = 0.
Das habe ich in die allgemeine erste Ableitung: f'(x) = 3ax² + 2bx + c eingesetzt, also 3a•0² + 2b•0 + c = 0.
Die Terme mit x werden dann automatisch Null und es bleibt c = 0 über.
Vielen Dank für die ausführliche Antwort aber ich habe ein paar frage dazu. Warum ist D=2, In der Zeichnung ist D bei 4,5. Warum hast du bei den Eigenschaften nicht die beiden Punkte C und B genutzt , so wie ich es auch in meiner Frage gemacht habe?
Das kleine d ist der Parameter in der y-Achse, nicht verwechseln mit dem großen D, das einen Punkt angibt und in der ersten Gleichung keine Relevanz hat!
Und ich habe die Punkte die ganze Aufgabe über benutzt, lies noch einmal genau meine Ausführungen.
Die Rutsche schließt in C und B knick frei an die waagerechten Stücke an
Soweit ich das verstehe bedeutet das, dass die Funktion, welche die gesamte Rutsche beschreibt, stetig und differenzierbar sein muss.
Richtig, und das heißt, dass die Steigungen der Funktionen am Übergang gleich sein müssen
das wäre ja das gleiche wie beim zweiten Vorschlag
Äh, nein. Die Zeichnung ist an der Stelle zwar nicht so gut zu erkennen, aber die rote Funktion (II) geht im Gegensatz zur blauen Funktion (I) nicht durch den Punkt B.
Meine Kinder würden ja eine Rutsche in Form einer Hyperbel bevorzugen... :-)
Ich glaube sie meint nur das Prinzip, nicht die Punkte :-) das Prinzip bleibt auch bei der zweiten Rutsche gleich.
Und warum sind bei der zweiten Gleichung meine 4 Eigenschaften nicht richtig?