Spezialisten der Stochastik bitte?
Meine Cousine und ich sind uns gerade in einer Aufgabe uneinig.
Timmi zieht nacheinander aus dem Behälter in Figur 1 fünf Kugel und notiert die Buchstaben. ( Im Behälter: 3 T, 2 I und 4 M) mit welcher wahrscheinlichkeit zeigen die 5 kugeln seinen Namen, wenn er a: die kugeln nach jeden ziehen zurücklegt b: nicht zurücklegt
7 Antworten
Fall 1: Ziehen mit Zurücklegen
Anzahl der Elemente in der Grundmenge: 9 Kugeln
Einzelwahrscheinlichkeiten:
P( T ) = 3 / 9 = 1 / 3
P( I ) = 2 / 9
P( M ) = 4 / 9
Da die Kugeln stets nach jedem Ziehen zurückgelegt werden, ändern sich diese Einzelwahrscheinlichkeiten nicht.
Zug Nr. 1 soll ein T sein: P( T ) = 1 / 3
Zug Nr. 2 soll ein I sein: P ( T , I ) = ( 1 / 3 ) * ( 2 / 9 ) = 2 / 27
Zug Nr. 3 soll ein M sein: P ( T, I , M ) = ( 2 / 27 ) * ( 4 / 9 ) = 8 / 243
Zug Nr. 4 soll ein M sein: P ( T, I, M, M ) = ( 8 / 243 ) * ( 4 / 9 ) = 32 / 2187
Zug Nr. 5 soll ein I sein: P ( T, I, M, M, I ) = ( 32 / 2187 ) * ( 2 / 9 ) = 64 / 19683
Das sind ca. 0,325 %.
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Fall 2: Ziehen ohne Zurücklegen
Beim ersten Zug entsprechen die Einzelwahrscheinlichkeiten den obigen.
Zug Nr. soll ein T sein: P( T ) = 1 / 3
Jetzt neuer Zustand, denn die gezogene Kugel wird nicht zurückgelegt. Wir haben nur noch 8 Kugeln, davon tragen 2 ein T, 2 ein I und 4 ein M. Also gilt jetzt P( T ) = 2 / 8 = 1 / 4, P( I ) = 2 / 8 = 1 / 4, P( M ) = 4 / 8 = 1 / 2.
Zug Nr. 2 soll ein I sein: P ( T , I ) = ( 1 / 3 ) * ( 1 / 4 ) = 1 / 12
Neuer Zustand: 7 Kugeln insgesamt, 2 davon tragen ein T, 1 davon trägt ein I und 4 tragen ein M. Also gilt nun P( T ) = 2 / 7, P( I ) = 1 / 7, P( M ) = 4 / 7
Zug Nr. 3 soll ein M sein: P ( T, I , M ) = ( 1 / 12 ) * ( 4 / 7 ) = 1 / 21
Neuer Zustand: 6 Kugeln insgesamt, 2 davon tragen ein T, 1 davon trägt ein I und 3 tragen ein M. Also gilt nun P( T ) = 2 / 6 = 1 / 3, P( I ) = 1 / 6, P( M ) = 3 / 6 = 1 / 2
Zug Nr. 4 soll ein M sein: P ( T, I , M, M ) = ( 1 / 21 ) * ( 1 / 2 ) = 1 / 42
Neuer Zustand: 5 Kugeln insgesamt, 2 davon tragen ein T, 1 davon trägt ein I und 2 tragen ein M. Also gilt nun P( T ) = 2 / 5, P( I ) = 1 / 5, P( M ) = 2 / 5
Zug Nr. 5 soll ein I sein: P ( T, I , M, M, I ) = ( 1 / 42 ) * ( 1 / 5 ) = 1 / 210
Das sind ca. 0,476 %.
Fall 1: Ziehen mit Zurücklegen
Anzahl der Elemente in der Grundmenge: 9 Kugeln
Einzelwahrscheinlichkeiten:
P( T ) = 3 / 9 = 1 / 3
P( I ) = 2 / 9
P( M ) = 4 / 9
Da die Kugeln stets nach jedem Ziehen zurückgelegt werden, ändern sich diese Einzelwahrscheinlichkeiten nicht.
Zug Nr. 1 soll ein T sein: P( T ) = 1 / 3
Zug Nr. 2 soll ein I sein: P ( T , I ) = ( 1 / 3 ) * ( 2 / 9 ) = 2 / 27
Zug Nr. 3 soll ein M sein: P ( T, I , M ) = ( 2 / 27 ) * ( 4 / 9 ) = 8 / 243
Zug Nr. 4 soll ein M sein: P ( T, I, M, M ) = ( 8 / 243 ) * ( 4 / 9 ) = 32 / 2187
Zug Nr. 5 soll ein I sein: P ( T, I, M, M, I ) = ( 32 / 2187 ) * ( 2 / 9 ) = 64 / 19683
Das sind ca. 0,325 %.
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Fall 2: Ziehen ohne Zurücklegen
Beim ersten Zug entsprechen die Einzelwahrscheinlichkeiten den obigen.
Zug Nr. soll ein T sein: P( T ) = 1 / 3
Jetzt neuer Zustand, denn die gezogene Kugel wird nicht zurückgelegt. Wir haben nur noch 8 Kugeln, davon tragen 2 ein T, 2 ein I und 4 ein M. Also gilt jetzt P( T ) = 2 / 8 = 1 / 4, P( I ) = 2 / 8 = 1 / 4, P( M ) = 4 / 8 = 1 / 2.
Zug Nr. 2 soll ein I sein: P ( T , I ) = ( 1 / 3 ) * ( 1 / 4 ) = 1 / 12
Neuer Zustand: 7 Kugeln insgesamt, 2 davon tragen ein T, 1 davon trägt ein I und 4 tragen ein M. Also gilt nun P( T ) = 2 / 7, P( I ) = 1 / 7, P( M ) = 4 / 7
Zug Nr. 3 soll ein M sein: P ( T, I , M ) = ( 1 / 12 ) * ( 4 / 7 ) = 1 / 21
Neuer Zustand: 6 Kugeln insgesamt, 2 davon tragen ein T, 1 davon trägt ein I und 3 tragen ein M. Also gilt nun P( T ) = 2 / 6 = 1 / 3, P( I ) = 1 / 6, P( M ) = 3 / 6 = 1 / 2
Zug Nr. 4 soll ein M sein: P ( T, I , M, M ) = ( 1 / 21 ) * ( 1 / 2 ) = 1 / 42
Neuer Zustand: 5 Kugeln insgesamt, 2 davon tragen ein T, 1 davon trägt ein I und 2 tragen ein M. Also gilt nun P( T ) = 2 / 5, P( I ) = 1 / 5, P( M ) = 2 / 5
Zug Nr. 5 soll ein I sein: P ( T, I , M, M, I ) = ( 1 / 42 ) * ( 1 / 5 ) = 1 / 210
Das sind ca. 0,476 %.
Ich gehe davon aus, daß die Reihenfolge wichtig ist, also daß T-I-M-M-I genau so gezogen werden muß.
Falls nur 1 T, 2 I und 2 M gezogen werden sollen, egal wie, dann wird das eine andere Rechnung.
Mit Zurücklegen:
P(T) = 3/9 , P(I)= 2/9 , P(M) = 4/9
P(T,I,M,M,I) = 3/9 * 2*2/9 * 2*4/9 = 3*4*8/9*9*9 Rest macht der Taschenrechner
Ohne Zurücklegen:
P(1. Zug T)=3/9, P(2.Zug I)= 2/8, P(3.Zug M)= 4/7, P(4.Zug M)=3/6, P(5.Zug I)=1/5
P(T,I,M,M,I) = 3/9 * 2/8 * 4/7 * 3/6 * 1/5 = 3*2*4*3 / 9*8*7*6*5 = ...
böser Fehler:
mit zurücklegen:
P(T,I,M,M,I) = 3/9 *2/9 * 4/9 * 4/9 * 2/9 = 3*2*4*4*2/9*9*9*9*9
Dazu würde ich ein Baumdiagramm mit den einzelnen Möglichkeiten zeichnen. Der Pfad der T-I-M-M-I anzeigt ist der Richtige. Alle Wahrscheinlichkeiten dieses Pfads multipliziert ergeben das Ergebnis!
Verständlich? Viel Glück!
Wenn er die Kugeln zurücklegt 64/19683 ( 3/9* 2/9* 4/9* 4/9* 2/9)
Wenn er die Kugeln nicht zurücklegt 1/70 ( 3/9*2/8*4/7*3/6*3/5)