Spektroskopie Energieeigenwerte Vibration?

Kann hier zufällig jemand helfen..

Aufgabe lautet: Die H^35Cl-Streckschwingung ist im IR-Spektrum bei einer Wellenzahl von 2890cm^-1 zu beobachten.

a) Wie lautet die Formel zur Berechnung der Energieeigenwerte der Vibration eines Moleküls.

b) Berechne Energie des zweiten angeregten Schwingungszustandes.

Komme hier leider auch nicht weiter :( Danke im Voraus

Answer 1

[pchem]

Für den Harmonischen Oszillator berechnen sich die Energieeigenwerte durch

$E_n=ħ\cdot\sqrt{\frac{k}{µ}}\cdot\left(n+\frac{1}{2}\right)=h\cdotν\cdot\left(n+\frac{1}{2}\right)$ h bezeichnet das Planksche Wirkungsquantum (ħ das reduzierte Planksche Wirkungsquantum), k die Kraftkonstante der Schwingung, µ die reduzierte Masse, n die Quantenzahl des Zustandes und ν die Schwingungsfrequenz. Die Formel für die Energieeigenwerte (und die jeweiligen Wellenfunktionen) ergeben sich als Lösungen der Schrödinger Gleichung unter Annahme eines harmonischen Potentials (man nimmt einen linearen Zusammenhang zwischen der Auslenkung beider gebundener Atome aus ihrer Ruhelage und der dadurch auf sie wirkenden rückstellenden Kraft an; wie bei einer mechanischen Feder).

Der zweite angeregte Schwingungszustand wird durch n = 2 beschrieben und dessen Energie lässt sich durch obige Formel berechnen. Das Planksche Wirkungsquantum und n sind bekannt und es fehlen die Kraftkonstante und die reduzierte Masse.

Für die reduzierte Masse gilt

$\frac{1}{m_{red}}=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}$

oder

$m_{red}=\frac{m_1\cdot m_2}{m_1+m_2}$

Mit den Massen für 1H und 35Cl ergibt sich eine reduzierte Masse von

$m_{red}=\frac{35\cdot1u}{35u+1u}=0.97u=1.61\cdot10^{-27}kg$

(Nachfolgend wird die reduzierte Masse mit µ bezeichnet um Verwechslungen mit dem Meter vorzubeugen). Die Kraftkonstante ist vom Molekül abhängig und kann hier aus der gegebenen Wellenzahl berechnet werden. Zunächst ist die Wellenzahl in eine entsprechende Energie umzurechnen. Die Wellenzahl ist der Kehrwert der Wellenlänge

$wz\ =\ \frac{1}{λ}$ $λ=\frac{1}{wz}=\frac{1}{2890\ cm^{-1}}=3.46\cdot10^{-4}cm=3.46\cdot10^{-6}m$

Ausgehend von der Wellenlänge lässt sich die Frequenz berechnen

$c=λ\cdotν$ $ν=\frac{c}{λ}=\frac{299792458\ \frac{m}{s}}{3.46\cdot10^{-6}m}=8.66\cdot10^{13}\ \frac{1}{s}$

Damit lässt sich der Energiebetrag für die Anregung aus dem Grundzustand berechnen (n = 0 → n = 1)

$E=h\cdotν=6.62\cdot10^{-34}\ Js\ \cdot\ 8.66\cdot10^{13}\ \frac{1}{s}=5.73\cdot10^{-20}\ J=0.36\ eV$

Man stellt nun die Formel für die Energieeigenwerte so um, dass sie die Differenzen zweier Energien beschreibt (d.h. den Energiebetrag eines Übergangs). Da die Energie für n = 0 nach n = 1 nun bekannt ist, lässt sich so die Kraftkonstante ermitteln.

$E_1-E_0=ħ\cdot\sqrt{\frac{k}{µ}}\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)-ħ\cdot\sqrt{\frac{k}{µ}}\cdot\left(0+\frac{1}{2}\right)$ $E_1-E_0=ħ\cdot\sqrt{\frac{k}{µ}}\cdot\left(1.5-0.5\right)=ħ\cdot\sqrt{\frac{k}{µ}}$

Hier sollten Sie nun stutzig werden, insofern der Term (n+1+0.5) minus (n+0.5) für jedes n den Wert 1 liefert. Dies ist ein Charakteristikum des Harmonischen Modellansatzes: Die verschiedenen Energieniveaus sind äquidistant (in der Realität sind sie das nicht). Für geringe Zustände ist diese Näherung akzeptabel, für höhere Zustände, insbesondere für Zustände, welche sich der Dissoziationsenergie des Moleküls annähern, muss ein anderes Modell gewählt werden, welches die unterschiedlichen Abstände berücksichtigt. Es wird nun nach der Kraftkonstante umgestellt.

$\sqrt{\frac{k}{µ}}=\frac{E_1-E_0}{ħ}$ $k=µ\cdot\left(\frac{E_1-E_0}{ħ}\right)^{^2}=1.61\cdot10^{-27}kg\cdot\left(\frac{5.73\cdot10^{-20}\ J}{1.05\cdot10^{-34}\ Js}\right)^2=479\ \frac{N}{m}$

Nun kann die gesuchte Energie (n = 2) berechnet werden:

$E_2=ħ\cdot\sqrt{\frac{k}{µ}}\cdot\left(2+\frac{1}{2}\right)=1.05\cdot10^{-34}\ Js\cdot\sqrt{\frac{479\ \frac{N}{m}}{1.61\cdot10^{-27}\ Js}}\cdot2.5=1.43\cdot10^{-19}=0.89\ eV$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Chemiestudium

Comments

[pchem]

Bei dem Ergebnis von 1.43•10⁻¹⁹ fehlt noch das Einheitszeichen J für Joule.

[pchem]

Danke für den Stern.