Sind die Sedenionen ein Nullteiler?
Hallo!
Ich kenne mich noch nicht sehr gut mit den Sedenionen aus, da ich erst noch die Quaternionen lerne. Aber ich habe trotzdem mal auf Wikipedia danach geguckt, und da steht, dass es Sedenionen gibt, für welche gilt:
p, q ≠ 0
pq = 0
Also wenn ich zwei Sedenionen ungleich null habe, und sie multipliziere, kommt 0 dabei raus. Ich denke auch, dass das Sinn macht, wenn man sich die Multiplikationstabelle anguckt. z.B. die Sedenionen e3+e10 und e6-e15 miteinander multipliziert ergeben null. Ich kenne mich mit den Rechenregeln bei den Sedenionen noch nicht so gut aus, aber würde dass nicht heißen, dass:
p, q ≠ 0
pq = 0 | /q
p = 0/q | ^-1
p^-1 = q/0
Kann man mit den Sedenionen durch null teilen??? Ich denke nämlich auch, dass es nicht einfach so "Nullteiler" heißt.
Danke!
2 Antworten
Sind die Sedenionen ein Nullteiler?
Nicht alle Sedenionen sind Nullteiler. Einige sind jedoch Nullteiler. Wikipedia listet sogar viele Beispiele dafür auf:
Wobei es die Dickson-Algebra Schreibweise nutzt, denn andere Schreibweisen wären ja auch zu verständlich gewesen.
Das einfachste Gegenbeispiel dafür, dass nicht alle Sedenionen Nullteiler sind, sind wohl die komplexen Zahlen und Quaternionen welche Sedenionen sind aber keine Nullteiler.
Ich kenne mich mit den Rechenregeln bei den Sedenionen noch nicht so gut aus, aber würde dass nicht heißen, dass:
p, q ≠ 0
pq = 0 | /q
p = 0/q | ^-1
p^-1 = q/0
Nein! Sedenionen "s" sind bezüglich der Multiplikation nicht kommutativ und können deswegen nicht als "s_1/s_2" eindeutig geschrieben werden. Das kennst du aber auch schon von den Quaternionen. Zudem musst du beim Umstellen mit Quaternionen, Oktanionen und Sedenionen immer darauf achten ob du rechts- oder links-multipliziert, was du auch mit deinen genutzten Operator kennzeichnen musst:
p, q, r in H
p * q = p * q | *r
p * q * r ≠ r * p * q
Sedenion sind auch wie Oktanionen bezüglich der Multiplikation Anti-Assoziativ:
p, q, r in S
p * q = p * q
(p * q) * r ≠ p * q * r => nicht definiert
(p * q) * r ≠ p * (q * r) => inkorrekt
Du must also zuerst das in den Klammern ausrechnen! Du musstest die Klammern in deiner Urspungsgleichung nicht schreiben, weil da nur zwei Faktoren sind, aber der dritte Faktor den du dazu holst setzt die bisher rein imaginären Klammern!
Die Anti-Assoziativität und Anti-Kommutativität ist hier auch die Probleme:
p, q ≠ 0
p * q = 0
(p * q) = 0 | rechtsmultiplizieren: q^-1
(p * q) * q^-1 = 0 * q^-1
(p * q) * q^-1 = 0
Das q^-1 kannst du aber nicht mit in die Klammer ziehen da Anti-Assoziativ!
Tipp: Wenn du also mit Sedenionen rechnest, solltest du immer die Klammern dazu schreiben, damit es zu keinen Verwechslungen kommt.
Kann man mit den Sedenionen durch null teilen??? Ich denke nämlich auch, dass es nicht einfach so "Nullteiler" heißt.
Ein Nullteiler x heißt Nullteiler, da er ein Teiler von Null ist aka Null teilt (x|0).
Mehr ist es nicht.
Aus dieser Eigenschaft folgt dann auch schon die von dir genutzte Gleichung.
Sind p und q zueinander Nullteiler, so gilt: pq = 0
Eine Bedingung um ein Nullteiler zu sein ist dabei natürlich nicht 0 zu sein. Wenn wir genau werden muss hier eigentlich nur q oder p nicht 0 sein.
Also die Sedenionen sind kein Nullteiler, sie haben aber Elemente die Nullteiler sind. Das besondere an Nullteilern ist, dass sie kein multiplikatives Inverses haben. Daher kannst du in deiner Rechnung auch nicht durch q teilen.
Warum haben Nullteiler kein Inverses? Angenommen es gäbe ein b mit bq=qb=1, dann folgt pqb=p, aber wegen pq=0 auch p=0. Das widerspricht aber p≠0.
Warum heißen Nullteiler eigentlich Nullteiler? Das hat nichts mit dem Ergebnis deiner falschen Rechnung zu tun. Es gilt, dass in jedem Ring jedes Element q die 0 teilt, da 0=0q kurz q|0. Das heißt q|0 ist nichts besonderes. Interessant wird es daher erst wenn ich ein p≠0 mit 0=pq finde. Daher der Name Nullteiler, also ein Element das die 0 auch auf eine nicht "langweilige" Art teilt.
Vielen Dank!
Ich hätte nicht gedacht, dass ich überhaupt eine Antwort bekomme. Das ist hilfreich.