Schwerpunkt Zylinder?

Guten Tag, ich habe die Frage wie sich der Schwerpunkt eines Zylinders berechnet

und wie sich dieser Schwerpunkt, in Abhängigkeit von einer Flüssigkeit (z.B. Wasser) verändert

denn mein Gedanke war, dass sich der Schwerpunkt verschiebt je mehr Flüssigkeit man einfüllt.

Wie könnte man das in einer Gleichung beschreiben?

Answer 1

[YBCO123]

Fang mal an, den Schwerpunkt eines um die y-Achse gekippten und mit Wasser befüllten Quaderförmigen Behälters in seinem (mitgekippten) Koordinatensystem zu finden: da steht das Wasser schief: die Steigung der Wasserlinie sei k, die mittlere Höhe des Wassers h. Das Gewicht des Behälters erst mal Null setzen.

Das ist eine gute Vorübung für den Zylinder, der etwas komplizierter wird

$x_s=\ \frac{\int_{-a}^{+a}\ \left(h+kx\right)\cdot x\cdot dx}{\int_{-a}^{+a}\ \left(h+kx\right)\cdot dx}=\ \frac{a^2\cdot k}{3h}$

$z_s=\frac{\int_{-a}^{+a}\ dx\cdot\int_0^{h+kx}\ z\ dz}{\int_{-a}^{+a}\ \left(h+kx\right)dx}=\ \frac{h}{2}+\frac{a^2k^2}{6h}$

Überleg mal, wie man da mit der Definition des Schwerpunktes darauf kommt. Wenn du das verstanden hast, kannst du es für den Zylinder angehen.

Answer 2

[YBCO123]

Bei einem befüllten Zylinder muss du den Gesamtschwerpunkt Rs aus den einzelnen Schwerpunkten rs des leeren Behälters sowie der Flüssigkeit berechnen:

$\vec{R_{si}}\ =\ \frac{\Sigma\ \vec{r_{s,i}}\cdot m_i}{\Sigma\ m_i}$

Comments

[riaazz]

Mal angenommen ich habe einen Zylinder mit der Höhe von 33cm und einem radius von 2,5cm. Dort fülle ich 100ml Wasser hinein. Wie würde der Rechenweg lauten?

[YBCO123]

@riaazz

Wie ist das Gewicht des leeren Zylinders ? Oder möchtest du das vernachlässigen? Dann ist der Schwerpunkt natürlich auf der Achse in halber Höhe des Wassers...wo sonst?

[riaazz]

@YBCO123

Also leer wiegt der zylinder 80g und mit den 100ml dann 180g

[YBCO123]

@riaazz

Hängt ab wie das Gewicht der Bodenplatte im Verhältnis zum Gesamtgewicht ist. Eine Zeichnung hätte hier viel Schreiberei erspart.

Soll der Zylinder auch gekippt werden? Das ändert ja die Lage des Schwerpunkts...

[riaazz]

@YBCO123

Also das Gewicht der Bodenplatte spielt in dem fall keine Rolle.

Falls man den zylinder kippt was würde sich in der Formel verändern.

[YBCO123]

@riaazz

Wenn die Wände eine Rolle spielen, dann auch der Boden...

Na sicher ändert sich die Lage des Schwerpunkts, wenn man kippt, denn schließlich hat das Wasser ja keine Zylinderform mehr. Klar, dass das Ergebnis nicht unmittelbar ersichtlich ist, da muss man selbstverständlich etwas rechnen. In zwei min wird das niemand hinschreiben können...es ist ja aber scheinbar genau deine Aufgabe, das im Detail herauszuarbeiten.

[YBCO123]

@riaazz

Sowas bedarf einer "Analyse", keiner "Formel". Physik besteht nicht aus Formeln...

Answer 3

[YBCO123]

Zu unserer gestrigen Diskussion. Ich habe es noch durchgerechnet.

Annahme: Quaderförmiges Gefäß (gewichtslos) mit Seitenlänge 2m, Füllhöhe 6m.

Abstand x-Koordinate Schwerpunkt zum Drehpunkt:

Es kippt sowohl in der Näherung wie auch in der genauen Rechnung bei ca 18°.

Nun Füllmenge 2m Wasser (statt 6m):

Der Fehler den man macht, indem man die Schräge vernachlässigt ist ziemlich groß, da die Näherung ja nur für Füllhöhe sehr viel größer als Seitenlänge gilt. Hier kippt es in der Näherung erst bei 45° um, genau gerechnet schonbei 39°.

Hier für Füllhöhe = 1m

In der Näherung kippt es bei 63°, exakt gerechnet bei 45°.

Das excel kannst du haben, wenn du magst.