Satz ü. implizite Funkt.: Beweis LGS kann aufgelöst werden?
Hallo!
Ich habe das hier als Hausaufgabe gekriegt:
und habe keine Ahnung, wo ich anfangen soll.
Ich meine, man muss diesen Satz über implizite Funktionen benutzen
aufgrund der Formulierung des Tipps. Ich verstehe aber nicht, wie (man hat ja ein LGS, keine Funktionen). Was heißt überhaupt "Beweise ... das aufgelöst werden kann"?
Könnte mir da wer helfen? Vielen Dank im Voraus! <3
1 Antwort
"Beweise, dass aufgelöst werden kann" heißt hier: "Zeige, dass die Voraussetzungen des Satzes erfüllt sind".
Wir haben hier
( x ) ( u ) ( u + cos(u v) - v x - 1 ) ( f_1 )
f( ( ), ( ) ) = ( ) = ( )
( y ) ( v ) ( sin(u) - y - v ) ( f_2 )
Berechne die partiellen Ableitungen der Komponenten von f jeweils nach u und nach v
Setze die gegebenen Werte x=0; y=-1; u=0; v=1 ein
Zeige, dass die Determinante von
( f_1_u((x,y),(u,v)) f_1_v((x,y),(u,v)) )
( )
( f_2_u((x,y),(u,v)) f_2_v((x,y),(u,v)) )
an dieser Stelle immer ungleich 0 ist
Im Satz wird nach der Variablen aus dem Raum "Y" abgeleitet (∂_Y f).
In der Aufgabe ist der Funktionswert ein 2-dimensionaler Vektor; aus dem 2. Raum stammt die (vektorwertige) Variable "(u,v)" (im Satz heißt sie "b").
Ein 2-Vektor nach einem 2-Vektor abgeleitet ergibt eine 2×2-Matrix.
Eine stetig differenzierbare n-Vektor-Funktion f(s) ist genau dann an einer n-Vektor-Stelle s0 umkehrbar, wenn die Ableitungsmatrix von f nach s0 umkehrbar ist (Spezialfall des erwähnten Satzes bzw. ein eigener Satz).
Eine Matrix ist genau dann umkehrbar, wenn ihre Determinante ungleich 0 ist.
Die Folgerung des Satzes besagt, dass in diesem Fall folgende Aussagen äquivalent sind:
- F(a,b) = 0
- es gibt G: b = G(a)
Hier ist:
F(a,b) = f( (x,y), (u,v) )
G(a) = ( g(x,y), h(x,y) ) = ( u, v )
Die Ableitung von F nach b ist die Ableitung von f nach (u,v)
Okay, danke! Ich habe es jetzt so gelöst:
Passt das grob vom Beweis her? Übrigens: die Schreibweise mit meinem f_(R^2) ist falsch oder das geht anders?
Im Großen und Ganzen stimmt es.
Dass f(ℝ^2) ungeschickt ist, hast du ja schon geschrieben.
Ich würde den Definitionsbereich von f nicht gerade mit "U" benennen ("U" steht sonst für "Umgebung"), sondern etwa mit "X" (wie im Satz"; ebenso den Wertebereich "Y". Dann ist eindeutig, welchen Raum man jeweils meint.
Zusätzlich muss man dann noch erwähnen: X = ℝ^4, Y = ℝ^2
Noch genauer wäre hier X = ℝ^2 × ℝ^2, aber dann müsste man
(0, -1, 0, 1)
als
( (0,-1)^T, (0,1)^T )
schreiben. Das wäre dann eine Korrektur der Formulierung der Aufgabe.
Vermutlich wäre auch
f( (x,y)^T, (u,v)^T )
besser, weil wir ja erst einmal nichts über g und h aussagen. (Es soll ja erst nachgewiesen werden, dass g und h existieren.)
Mehr Kritikpunkte habe ich jetzt nicht gefunden.
Oh wow, danke! Jetzt verstehe ich den Ansatz. Ich probiers mal! Vielen Dank <3
Was bringt mir das dann weiteres? Also ich beweise ja mit det( ) ungleich 0, daß die Funktion f stetig differenzierbar ist; aber was ist mit diesen g(x,y)=u und h(x,y)=v?