Relativ und absolut extremwerte?
Leute könnt ihr mir erklären was des ist und ob ich richtig gerechnet habe wenn ja was davon ist ein relatives und was ein absolutes extremwert
3 Antworten
Zuerst einmal bzgl. der Form: Wenn Du den Funktionsterm einer Gleichung weiter umformst, dann schreibst Du dazwischen weiterhin das "="-Zeichen, denn die umgeformten Terme haben ja immer den gleichen Wert, nur halt anders geschrieben, und nicht "=>", das bedeutet "daraus folgt"; und Du hast dann auch plötzlich keine Gleichung mehr da stehen, sondern nur noch den Funktionswert.
Zur eigentlichen Aufgabe: die relativen Extremwerte sind die lokalen Extrema, die Du über die erste und zweite Ableitung bestimmst. Dazu berechnest Du noch die Randwerte des Intervalls, denn diese Funktionswerte können über den lokalen Maxima bzw. unter den lokalen Minima liegen. Die höchsten/niedrigsten Werte in diesem Intervall sind dann die absoluten Extremwerte.
f(e^(-2)), die linke Intervallgrenze, hast Du korrekt berechnet.
f(e) brauchst Du nicht; das ist einfach eine Stelle innerhalb des Intervalls.
f(e²), die rechte Intervallgrenze, hast Du am Ende falsch umgeformt: f(e²)=2e².
Jetzt brauchst Du aber noch die lokalen Extremstellen (f'(x)=0)...
f(x) = x*ln(x)
wie geht man vor ?
ad 1
Prüfen ob f(x) ein relatives Extremum hat
f'(x) = 0 = ln(x)+1 führt zu
xE bei ln(x) = -1
xE bei e^-1 = 1/e
denn ln(1/e) = -1
ad 2
Extremum liegt in [e^-2 ; e^2 ] ?
Ja .
Schlußfolgerung :
die Intervallgrenzen sind das/die GLOBALEN (nicht : absoluten) Max oder Min
f(e^-2) =
e^-2 * ln(e^-2) =
1/e² * -2 = -2/e²
.....
f(e²) =
e² * ln(e²) =
e² * 2 = 2e²
Fazit
Das relative Ex liegt zwischen beiden Werten
Daher ist bei dem kleineren der beiden f(x) - Werte das glo Min und bei dem anderen ?
PS : log ln und Co. sind auch nicht mein Steckenpferd. Da solltest du aber noch sicherer im Berechnen werden !
Ein absolutes Minimum oder Maximum ist der absolut höchste bzw. niedrigste Wert im gesamten Intervall. Gibt es mehrere Hochpunkte, ist nur der höchste Hochpunkt ein absolutes Maximum. Beim Tiefpunkt entsprechend. Statt absolut benutzt man häufig auch den Begriff des globalen Maximums.
Ein realtives Extremum wird auch lokales Extremum genannt. Neben diesem Punkt nimmt bei einem Hochpunkt der Funktionswert ab, es gibt aber an einer ganz anderen Stelle der Funktion noch ein Wert, der höher ist. Beim Minimum entsprechend.
Hier ein Graph im gegebenen Intervall:
Das ist f(e^2), also der Wert an der rechten Intervallgrenze, der absolut höchste Wert im Intervall. Daher ist das ein absolutes Maximum.
Der Wert an der linken Intervallgrenze ist ein lokales bzw. relatives Maximum. Links davon gibts keinen Wert, da außerhalb des Intervalls und rechts davon sinkt der Funktionswert. Relativ ist er aber deshalb, weil der Wert an der rechten Intervallsgrenze höher ist. Die Intervallsgrenzen sind praktisch immer Maxima oder Minima. Notfalls muss man einen Wert links bzw. rechts davon wählen, einsetzen und gucken, obs runter oder rauf geht.
Der Tiefpunkt bei x = 1/e ist ein absolutes Minimum, da es im gesamten Intervall keinen niedrigeren Wert gibt.
Um die absoluten und relativen Extrema rauszukriegen, musst du konventionell ableiten und f' = 0 setzen. Da kriegst du nur den Tiefpunkt bei x = 1/e raus.
Anschließend setzt du die gefundenen Wert und die Intervallgrenzen in f(x) ein, ermittelst den Funktionswert und dann weißt du auch, was absolut und was relativ ist.
