Rekursive Funktion als explizite angeben?
Hi, ich hab folgende Funktion:
f(x) = f(x-1) + 2x
Hier ne Tabelle mit paar Werten
x - 0- 1- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8
y - 0- 2- 6-12-20-30-42-56-72
Die Lösung ist Die Umformung kann ich nachvollziehen, aber wie kommt man auf die Vermutung, dass es genau diese Summe ist?
Wie sollte man bei so Aufgaben am besten Vorgehen?
2 Antworten
Am einfachsten schreibt man sich das einfach mal explizit hin. Im folgenden nehmen wir f(0) = b an. Es folgt somit:
f(0) = b
f(1) = f(0) + 2 = b + 2
f(2) = f(1) + 2*2 = b + 2 + 2*2
f(3) = f(2) + 2*3 = b + 2 + 2*2 + 2*3
...
f(n) = b + 2 + ... + 2*(n - 1) + 2*n = b + 2*(1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) + n)
Benutze nun die Gaußsche Summenformel:
--> 1 + 2 + 3 + ... + n = n*(n + 1)/2
Einsetzen liefert somit explizit:
f(n) = b + n*(n + 1) = n^2 + n + b
Beziehungsweise dann für f(0) = b = 0 die von dir angegebene Lösung:
f(n) = n^2 + n
Das geht doch schon aus der Formel hervor...
f(x) = f(x-1)+2x ist ja eben die Summe aus 2k, denn es wird immer 2k aufsummiert.
