Reihenschaltung von Widerstand und Spule?

Ich habe keine Ahnung wie ich d) e) h) und I) machen sol

Answer 1

[DoctorBibber]

Bei einer Wechselspannung entwickelt eine Spule einen induktiven Blindwiderstand, der um 90° verschoben in der Schaltung wirkt. An der Induktivität selber ist also der Spannungsabfall und der durch ihn fließende Strom um 90° verschoben, die Spannung ist dem Strom also um 90° voreilend, die Induktivität wirkt vollständig reaktiv (Rückwirkend):

Beim Widerstand sind Strom und Spannung dagegen in Phase. Die elektrische Energie wird an ihm in Wärme umgewandelt.

Um dieses Verhalten Mathematisch zu beschreiben bedient man sich der Gaußschen Zahlenebene. Um das zu verstehen müssen wir ein bisschen Mathematik machen.

Bisher kennst du die Reelle Zahlenebene. Hier ist alles in Ordnung und alle Zahlen können auf einen Zahlenstrahl abgebildet werden. Dort befinden sich die natürlichen Zahlen, die rationalen und irrationalen Zahlen sowie die negativen Zahlen:

problematisch wird es, wenn wir nun folgende Gleichung lösen wollen:

x^2=-1

Um das x herauszufinden müssen wir auf der anderen Seite die Wurzel ziehen also die Wurzel von -1 aber -*-=+ und +*+=+ es gibt keine Zahl die mit sich selber multipliziert -1 ergibt. Als Lösung hat man sich also gedacht: "Dann denken wir uns diese Zahl einfach!" Es darf dann nur nicht nur Wurzel von -1 geben sondern auch vielfache davon. Die Imaginäre Zahl wird auch i genannt:

i=Wurzel(-1)

Das Problem ist, dass man diese Zahlen nicht auf dem Reellen Zahlenstrahl abbilden kann. Wir sind also dazu gezwungen aus diesem Zahlenstrahl auszubrechen und einen weiteren hinzuzufügen auf dem die Vielfachen von i aufgetragen werden.

Ganz glücklich ist der Mathematiker auch nicht, da er sich nach etwas abgeschlossenem sehnt. Um nun das System abzuschließen brauchen wir zusätzlich Zahlen die sich aus Reellen Zahlen und Imaginären Zahlen zusammensetzen. Wir erhalten eine ganze Ebene von Zahlen, die Gaußsche Zahlenebene.

Falls dir das ganze immer noch nicht klar ist mit den Komplexen Zahlen gibt es da einen tollen Song von DorFuchs, danach vergisst du es ganz bestimmt nicht mehr ;)

https://www.youtube.com/watch?v=HRzQAnUl1C4&t=106s

Den Teil der Mathematik nutzen wir nun um dieses Problem zu beschreiben. Dabei stellt der Widerstand den Realteil da und die Induktivität den positiven Imaginärteil. Deshalb auch oft die Bezeichnung iXL Das ist in der Elektrotechnik so aber nicht üblich, da man das i bzw I ja schon für die Stromstärke benutzt um Verwirrungen zu vermeiden nutzt man daher j also

j=i=Wurzel(-1)

Die Gesamtimpedanz aus Real und Imaginärteil lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen.

|z|=√(R^2+XL^2)

die 2 Striche vor und hinter dem Z sind sogenannte "Betragsstriche" es weißt daraufhin, dass es hier um den Betrag also die Zahl von Z geht. Z besteht ja demnach nicht nur aus Betrag sondern auch dem Winkel wir wollen in diesem Fall aber nicht den Winkel sondern den Betrag.

Wir halten also fest: Bei der Impedanz handelt es sich immer um eine komplexe Größe aus Imaginär und Realteil. Deshalb wird diese Rechnung in der Elektrotechnik auch "komplexe Wechselstromrechnung" genannt und die braucht man sehr oft z.b. bei der Berechnung realer Transformatoren.

Der Realteil entspricht in einem Rechtwinkligen Dreieck der Ankathete, der Imaginärteil entsprechend die Gegenkathete. und der Betrag von Z entspricht also der Länge der Hypotenuse wir können also Realteil und Imaginärteil mithilfe der Winkelfunktion und dem Betrag von Z darstellen:

z=R+jXL

z=|z|*cos(φ)+i*|z|*sin(φ)

jetzt klammern wir |z| aus und erhalten:

z=|z|*(cos(φ)+i*sin(φ))

und jetzt kommt Leonhard Euler ins Spiel er hat nämlich folgendes erkannt:

cos(φ)+i*sin(φ)=e^(i*φ)

Das ist die "Eulersche Formel" und sozusagen die "Geburt" der Polarform der Komplexen Größe.

Wir können somit nämlich sagen:

Z=|z|*e^(i*φ)

wir können so direkt den Betrag und den Winkel ablesen ohne groß rechnen zu müssen mit dem Pythagoras und der Winkelfunktionen können wir wiederum wieder auf die Komponenten Schreibweise zurück rechnen mit Realteil+Imaginärteil.

Und das beste ist, du musst noch nicht mal rechnen. Dein Taschenrechner kann das automatisch ;)

Beim fx-87DE Plus findest du über dem Plus die Pol taste. Du drückst auf SHIFT und dann auf das Plus. Nun erscheint auf dem Display

Pol(

dort kannst du nun folgendes Eintippen

Pol(x;y)

das x ist der Realteil das y der Imaginärteil also einfach die jeweiligen Beträge in dem Fall:

Pol(R;XL)

Das ; tippst du indem du auf SHIFT und dann auf ) drückst. Nun spukt dir der Taschenrechner sofort r und θ aus. das r ist der Betrag und das θ der Winkel. Das ganze geht aber auch umgekehrt. Tippe dazu auf SHIFT und dann auf Rec bzw -

Auf deinem Display steht nun:

Rec(

dort gibst du den Betrag von Z ein und dann den Winkel z.b.

Rec(|z|;φ)

Der Taschenrechner spukt dir sofort x für Realteil und y für Imaginärteil aus. Also komplett ohne rechnen. Das ganze muss natürlich ein bisschen geübt werden aber dann kann es wirklich sehr schnell gehen einfach weil du kaum rechnen brauchst.

Nun Kann es aber auch sein, dass du komplizierter Formeln hast wo du Impedanzen miteinander multiplizieren oder dividieren musst. Hierfür eignet sich die Polarform optimal. Bei der Multiplikation werden die Winkel einfach Addiert und bei der Division subtrahiert. Die Beträge werden dann entsprechend multipliziert oder dividiert.

Bei der Addition und Subtraktion eignet sich dagegen die Komponentenschreibweise besser, hier werden jeweils die Realteile addiert bzw subtrahiert und jeweils die Imaginärteile. Du darfst nur nicht Realteil und Imaginärteil direkt addieren bzw subtrahieren sonst ist das Ergebnis natürlich falsch da es keine Reelle Lösung ist.

Achtung! Du solltest aber schon wissen wie der Weg dahin aussieht also über Pythagoras und den Winkelfunktionen. Es kann also gut möglich sein, dass deine Lehrer die einzelnen Rechenschritte von dir wollen weshalb du den Trick mit dem Taschenrechner dann natürlich nicht anwenden darfst aber du kannst zumindest den Betrag und den Winkel damit überprüfen oder zumindest ob du für R und XL den richtigen Betrag herausbekommen hast.

Answer 2

[YBCO123]

Ohne komplexe Zahlen kann man auch einfach einen Ansatz

$I\left(t\right)\ =\ I_0\cdot\sin\left(\omega t+\varphi\right)$

für den Zeitverlauf des Stroms machen und in die Maschengleichung

$U\left(t\right)=\ U_L\left(t\right)+U_R\left(t\right)$

einsetzen: Die Spannung an der Induktivität ist ja

$U_L\left(t\right)\ =\ L\cdot\frac{dI\left(t\right)}{dt}$

und am Widerstand

$U_R\left(t\right)=R\cdot I\left(t\right)$

und somit (U0 ist die Gesamtspannungsamplitude 42V)

$U_0\cdot\sin\ \left(\omega t\right)=\ I_0\cdot R\cdot\sin\left(\omega t\right)\ +\ I_0\omega L\cdot\cos\left(\omega t+\varphi\right)$

Die rechte Seite kann man nun über die Additionstheoreme umschreiben auf

$\ I_0R\cdot\left(\sin\left(\omega t\right)\cdot\cos\left(\varphi\right)+\cos\left(\omega t\right)\cdot\sin\left(\varphi\right)\right)+I_0\omega L\ \left(\cos\left(\omega t\right)\ \cos\ \left(\varphi\right)-\sin\left(\omega t\right)\sin\left(\varphi\right)\right)$

Da auf der linken Seite der vorletzten Gleichung nur der sin(wt) vorkommt, folgt durch Koeffizientenvergleich

$\frac{\sin\left(\varphi\right)}{\cos\left(\varphi\right)}=\ \tan\left(\varphi\right)=\ \frac{\omega L}{R}$

und

$I_0=\frac{U_0}{\sqrt{R^2+\left(\omega L\right)^2}}$

Das ist natürlich etwas umständlich - daher ist es zweckmäßiger gleich komplex zu rechnen, da die Rechnung dadurch extrem einfach wird, wenn man einmal weiß, wie man vorzugehen hat.

Answer 3

[Lutz28213]

Auch kein Ansatz ? Gar nichts? Irgendetwas über Phasenverschiebungen und komplexe Rechnung müsst Ihr doch behandelt haben - oder hast Du gefehlt?

Comments

[Alex12345000]

Ich war eine Woche nicht da, aber durch die Mitschrift kann ich da nichts erkennen

Answer 4

[Halswirbelstrom]

Berichtigung mit maßstabsgerechter Zeigerdarstellung

LG H.

Answer 5

[Halswirbelstrom]

LG H.

Comments

[Halswirbelstrom]

Berichtigung in Teilaufgabe i) : "+" ist in "-" zu ändern.

LG H.