Reichen folgende Informationen um auf den Flächeninhalt aller Kreise zu kommen?
Der Radius des ersten Kreises C0 als 1 Längeneinheit, die Anzahl der Kreise bis sie zwischen CO und C1 sind und die Tatsache daß die Spirale bis ins unendliche geht.
Was bedeutet: "die Anzahl der Kreise bis sie zwischen CO und C1 sind"?
Von C0 bis C8
2 Antworten
Der Minimierungsfaktor von Kreis zu Kreis müsste sich allein aus der Anzahl von C0 bis C8 ergeben, das ist das einzige Kriterium, sowie rekursive Fortsetzbarkeit.
Wenn man den Faktor kennt, ist die Fläche easy zu berechnen.
Nehmen wir an, wir verändern die Größe von C1. Ist die Struktur dann noch möglich, wenn Nein, genügen die Angaben, wenn Ja gibt es eine weitere Variable.
Da bin ich mir nicht sicher, ob es nicht auch mit einer andere Größe von C1 eine solche Struktur geben kann, vermutlich nicht. Man müsste ein paar Gleichungen aufstellen und prüfen, ob die Lösung eindeutig ist, also sämtliche Relationen zusammenstellen in ein Lösungssystem.
in meinen Augen aufwendig
Ich gehe hier von einer logarithmischen Spirale aus, gegeben durch
r(phi) = a e^(k*phi), mit Parametern a > 0 und k < 0
Die Mittelpunkte der Kreise sind auf der Spirale angeordnet.
Die Radien r_0 (=1), r_1, .... der Kreise C_0, C_1, ... nehmen proportional zum Radius der Spirale ab, d.h. wenn der Winkel zum Mittelpunkt C_i gleich phi_i ist, dann gilt
e^(k*phi_(i+1)) / e^(k*phi_i) = q mit geeignetem q < 1
Also r_0 (=1), r_1 = q, r_2 = q^2, ...
Die Flächensumme ist damit Pi / (1 - q^2). Aber wir kennen ja q noch nicht ...
Die Differenzen der Winkel zwischen zwei benachbarten Mittelpunkten sind immer gleich, sagen wir psi, dann gilt
e^(k*psi) = q oder psi = ln(q)/k
Zeichne ein Dreieck aus den beiden Mittelpunkten von C0 und C1 und dem Pol der Spirale, dann liefert der Cosinussatz
(1+q)^2 = (aq)^2 + a^2 - 2 a^2 q cos( ln(q)/k )
Das "Andocken" von C_7 an C_0 liefert auch ein solches Dreieck und
(1+q^7)^2 = (aq^7)^2 + a^2 - 2 a^2 q^7 cos( delta )
Die Winkelsumme muss dabei einen vollen Umlauf geben, also
2 Pi = 7 psi + delta
Wir setzen das oben ein und haben dann
(1+q^7)^2 = (aq^7)^2 + a^2 - 2 a^2 q^7 cos( 2 Pi - 7 ln(q)/k )
Die beiden fett gedruckten Gleichungen enthalten die drei Parameter a, k und q. Das ist einer zu viel, weshalb ich davon ausgehe, dass die Angaben nicht reichen.