Reelle Zahlenfolge -> Grenzwert?
Hallo!
Ich komme bei einer Aufgabe einfach nicht weiter.. hat jemand Ahnung davon?
Vielen Dank!
2 Antworten
Der Grenzwert ist so nicht richtig definiert. Statt...
„Für alle ε > 0 ∃n₀=n₀(ε) so dass es n ∈ ℕ gibt mit n ≥ n₀ so dass gilt |a - aₙ| < ε“
... müsste es lauten...
„Für alle ε > 0 ∃n₀=n₀(ε) so dass für alle n ∈ ℕ mit n ≥ n₀ gilt: |a - aₙ| < ε“
Evtl. etwas anschaulicher: Es reicht nicht, dass an einer Stelle der Abstand zum Grenzwert entsprechend klein wird. (Denn dann könnte sich die Folge danach wieder beliebig weit vom Grenzwert entfernen.) Sondern ab einer gewissen Stelle muss an allen weiteren Stellen der Abstand zum Grenzwert entsprechend klein werden.
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Es folgt ein Beispiel, bei dem die erste „Definition“ versagt.
Diese Folge konvergiert nicht gegen a = 1, sondern hat stattdessen zwei Häufungspunkte -1 und 1 zwischen denen die Folge alterniert.
Diese Folge erfüllt jedoch die erste „Definition“. Zu jedem ε > 0 gibt es beispielsweise n₀ = 1, so dass es beispielsweise n = 2 mit 2 ≥ 1 (also mit n ≥ n₀) gibt, so dass...
... gilt.
Nein das reicht nicht. Es gibt ein n0(Epsilon), so dass für alle n >= n0 gilt |a - a_n| < Epsilon.
Die Tatsache, dass es (mindestens) ein solches n gibt, genügt hier nicht.