Wie löst man diese Aufgabe?
Also in einer Augabe steht:
Gegeben ist die Länge der Raumdiagonale. Berechne die Kantenlänge des Würfels.
a) d=15,6cm b) d=2,4dm c) d=1,25m
3 Antworten
Du hast ja ein rechtwinkliges Dreieck mit Raumdiagonale d als Hypotenuse.
Jetzt betrachten wir erstmal den Boden vom Würfel, der ist ein Quadrat. Das heißt, die Diagonale c ist zwar unbekannt, aber da sie die Hypotenuse von einem rechtwinkligen und gleichschenkligen Dreieck ist, gilt c²=a²+b² -> c²=2a², denn a=b.
a ist dabei die gesuchte Kantenlänge.
Es gilt wegen c²=2a² auch a²=c²/2 und somit a=sqrt(c²/2)=c/(sqrt(2))
Nun betrachten wir das Dreieck, von dem die Raumdiagonale ein Teil ist.
In diesem ist unsere vorherige Hypotenuse c eine Kathete. Und als andere Kathete haben wir a. a können wir gleich benannt lassen, da ja alle Kanten gleich lang sind, somit ist a gleich wie das vorige a.
Wir suchen nun die neue Hypotenuse d, die unsere Raumdiagonale ist.
Es gilt also bei a) d=15.6²=c²+a².
Wir wissen von vorhin, dass a mit c in der Relation a=c/(sqrt(2)) steht.
Also setzen wir ein:
15.6²=c²+(c/(sqrt(2)))². Mit Rechenweg folgt c=12.737373...
Es bleibt also 15.6²=12.74²+a². Mit Rechenweg folgt a=9.00666...
a ist ja die Kantenlänge, also, was gesucht war.
Hier ist noch die Überlegung dahinter:
Eine Formel findest du sicher auch irgendwo.
d: Raumfiagonale
X: Kantenlänge
a: Flächendiagonale
Formel 1: d^2 = x^2 + b^2
Formel 2: b^2= x^2 + x^2
--> d^2 = x^2 + x^2 + x^2
d^2 = 3 * x^2
x = wurzel(1/3) * d
Bei einem Würfel sind per Definition alle Kanten gleichlang. Sei die Kantenlänge nun a. Es folgt für die Raumdiagonale:
diag = sqrt(a^2 + a^2 + a^2) = sqrt(3) * a
Umstellen liefert damit:
diag/sqrt(3) = a
die gesuchte Kantenlänge in Abhängigkeit der Länge der Raumdiagonalen. Siehe hierzu zum Beispiel: