Rangfolge: Urbild vs Umkehrfunktion?

Hallo liebe GF-Community!

Vorhin habe ich eine Frage zu Urbildern und Umkehrfunktionen beantwortet und dabei kam mir selbst eine Frage in den Kopf: Was, wenn ein Symbol in einem Ausdruck sowohl als Urbild als auch als Umkehrfunktion interpretiert werden kann? Gibt es eine Präzedenzregel oder muss man stets explizit dazuschreiben, was das Symbol bedeutet?

Um die Frage etwas zu veranschaulichen: Definiere eine Menge

$X=\left\{\varnothing,\left\{\varnothing\right\}\right\}$ und eine Funktion

$f:X\to X,\varnothing\mapsto\left\{\varnothing\right\},\left\{\varnothing\right\}\mapsto\varnothing$

Nun ist diese Funktion bijektiv, besitzt also eine Umkehrfunktion. Für gewöhnlich werden Umkehrfunktionen und Urbilder beide mit f^(-1) dargestellt. Was aber bedeutet dann der Ausdruck

$f^{-1}(\left\{\varnothing\right\})?$ Erste Möglichkeit (f^{-1} als Umkehrfunktion):

$f^{-1}(\left\{\varnothing\right\})=\varnothing$ Zweite Möglichkeit (f^{-1} als Urbild):

$f^{-1}(\left\{\varnothing\right\})=\left\{\left\{\varnothing\right\}\right\}$

Die beiden Ergebnisse sind offenbar verschieden. Gibt es hier eine Konvention?

Answer 1

[eddiefox]

Hallo,

Die beiden Ergebnisse sind offenbar verschieden.

Der Grund dafür ist, dass die Urbildfunktion f⁻¹ eine Abbildung von der Potenzmenge von X in die Potenzmenge von X ist, während die Umkehrfunktion f⁻¹ eine Abbildung von X nach X ist.

Gibt es hier eine Konvention?

Ich kenne als "Konvention" nur, den Text so zu formulieren, dass es klar ist, von was die Rede ist.

Gruß

Answer 2

[berndao2]

salopp gesagt gilt:
eine umkehrfunktion f^-1 heißt so wenn gilt:
f^-1(f(x))=f(f^-1(x))=id(x)
id(x) ist einfach die identiache abbildung.

x ist urbild zu y wenn y=f(x) gilt.
hier muss nicht zwingend eine umkehrabbildung existieren, x ist trotzdem ein urbild von y wenn diengleichung gilt.

dein f^-1({O}) würde ich grundsätzlich als dasjenige element auffassen, dessen bild
{O} ist.
da wir die funktionsvorschrift kennen, wissen wir dass dies O ist.

Ganz allgemein gesprochen kann es aber durchaus sein dass ein y mehrere Urbilder x1, x2 ,etc. hat.

dann gilt einserseits
f^-1(y)=x1, also x1 ist das urbild von y.

Man kann aber auch

f^-1({y})={x1,x2} schreiben.
das ist dann die menge der Urbilder von {y}.

d.h. die menge {x| es existiert ein y in {y} mit f(x)=y}

letzten endes kommt das Alles auf Konventionen an, aka auf was man sich geeinigt hat was womit gemeint ist.

f^-1(y) kann einerseits einfach die umkehrabaildung bedeuten (wenn du y eben als so ne variable wie x hinshcreibst), kann aber bspw bei f^-1(5) auch das urbild von 5 bedeuten.

wenn also ne konrkete zahl (oder in deinem beispiel ne konkrete menge) drinsteht, meint man wahrshceinlich urbild.
bei der allgemeinen schreibweise bezieht man sich auf die unkehrabbildung an sich