Quadratische Ergänzung wozu ist das gut?
Im Studium lernen wir gerade Analysis und wie man Funktionsgleichungen erstellt.
Dabei hatten wir das Thema Quadratische Ergänzung gehabt.
Ich verstehe nur nicht so recht, warum man das macht.
Man rechnet in einer Gleichung zB. +4-4 also man addiert dazu, um es in gleichen Zuge wieder zu entfernen.
Und ich sitze dann davor und denke nur :"Wäs??"
Alles andere wie der LN oder die Grundregeln des ableitens sind mir soweit klar und verständlich, aber hier hänge ich mich immer dran auf.
Wozu brauche ich also diese Ergänzung?
Und vor allem: Wann muss ich sie anwenden?
2 Antworten
Hm, eigentlich sollte das im Studium nichts Neues sein, das hat man schließlich in der Schule in der Oberstufe alles schon mal gemacht ...
Die quadratische Ergänzung benutzt einen grundlegenden "Trick", den man auch im weiteren Verlauf des Mathestudiums noch des Öfteren anwenden wird, man nennt das "eine produktive Null": Man addiert irgendetwas und subtrahiert es dann direkt wieder.
Warum?
- Zum einen ändert man daran an der Gesamtgleichung erst mal gar nichts - das darf man also machen.
- Zum anderen bekommt man damit aber irgendwas, mit dem man produktiv weiter arbeiten kann. D. h. man kann nun sinnvoll weiter umformen, um zum gewünschten Ziel zu kommen
Bei der Quadratischen Ergänzung geht es darum, dass man ein binomische Formel anwenden möchte, aber nicht alle Terme dafür hat.
Z. B. fehlt von "a² + 2ab + b²" (das man dann zu (a+b)² umformen könnte) das "+b²".
Also schreibe ich mir das "+b²" einfach dazu ()damit ich umformen kann), aber damit die Gesamtgleichung noch stimmt, muss ich dann auch noch ein "-b²" dazu schreiben.
So wird dann aus
a² + 2ab = ...
durch quadratische Ergänzung
a² + 2ab + b² - b² = ...
und daraus durch Anwendung der binomischen Formel
(a+b)² - b² = ...
Jetzt kann man noch das "-b²" auf die andere Seite bringen, auf beiden Seiten die Wurzel ziehen und dann hoffentlich mit weiteren elementaren Operationen weiter in Richtung Lösung kommen.
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Alternativ hätte man, statt auf einer Seite zu addieren und direkt wieder zu subtrahieren und dann am Ende das "-b²" auf die andere Seite zu bringen, auch direkt am Anfang auf beiden Seiten der Gleichung den gleichen Term addieren können - das erscheint seltsamerweise den meisten Menschen weniger unlogisch, obwohl es mathematisch das Gleiche ist ...
Hier ist es meiner Meinung nach gut erklärt, mit Beispiel:
Danke, perfekt verständlich