Quadratisch ergänzen?

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Allgemein hast du ja folgendes dastehen:

a x2+b x +ca\ x^2+b\ x\ +c

Wenn dich das a vor dem x² stört, kannst du es einfach ausklammern:

a (x2+ba x+ca)a\ \left(x^2+\frac{b}{a}\ x+\frac{c}{a}\right)

Für den Teil in der Klammer kannst du die quadratische Ergänzung ganz normal machen. Schau dir den Faktor vor dem x an, sei dieser f. Der fehlende Summand für die binomische Formel ist f²/4. Diesen musst du nun einfach dazu addieren und wieder abziehen:

a(x2+ba x+ca+b24 a2b24 a2 )a\left(x^2+\frac{b}{a}\ x+\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4\ a^2}-\frac{b^2}{4\ a^2}\ \right)

Nun kannst du die binomische Formel anwenden:

a ((x+b2 a)2+cab24 a2)a\ \left(\left(x+\frac{b}{2\ a}\right)^2+\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4\ a^2}\right)

Und zum Schluss wieder ausmultiplizieren:

a (x+b2 a)2+cb24 aa\ \left(x+\frac{b}{2\ a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4\ a}

Das kannst du nun bei jeder Aufgabe so anwenden. Pass nur mit den Vorzeichen auf.

x²-8x-20 = 0

so ergänzen, dass die binomische Formel angewendet werden kann

die Hälfte von 8, dann quadriert ist die quadratische Ergänzung

x²-8x+16-16-20 =0

(x²-8x+16)-36=0

(x-4)²=36

x-4 = +-6

x=4+-6

x1=10

x2=-2