Physik Gymnasium Oberstufe?
versteht jemand die Aufgabe und kann sie mir erklären, bin echt am verzweifeln :/
lastwagen : 54 km/h
auto fährt viel zu flott mit 126 km/h
das Auto bremst erst wo der Abstand zwischen den beiden 30 m ist. Die Verzögerung beträgt von dem Auto dabei -6m/s hoch 2
a) zeige dass ein Auffahrunfall stattfindet
b) wie groß dürfte die Geschwindigkeit des Autos maximal sein damit kein Unfall passiert.
4 Antworten
Hab da einen Fehler gemacht
Bremsvorgang Beschleunigung a=negativ
1) a=negativ nun 2 mal integrieren
2) V(t)=-a*t+Vo hier Vo=Anfangsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t=0
3) S(t)=-1/2*a*t²+Vo+So hier So=schon zurückgeleter Weg zum Zeitpunkt t=0
hier So=0 Geschwindigkeit Auto va=126 km/h=126000 m/3600s=35 m/s
LKW vl=54 km/h=54000 m/3600 s=15 m/s
1) sl=vl*t+30 m Der LKW hat zu begin der Bremsung s=30 m Vorsprung
2) sa=-1/2*a*t²+va*t sa=Bremsweg für das Auto
Das Auto bremst auf die Geschwindigkeit des LKW´s ab
aus 2) va=vl=-a*t+va ergibt die Bremszeit t=(va-vl)/a=(35-15)/6=3 1/3 Sekunden
in 1) LKW sl=15 m/s*3 1/3 s+30 m=80 m
in 2) Auto sa=-1/2*6 m/s²*(3 1/3 s)²+35 m/s*3 1/33 s=833,333.. m
also sa>sl 83,33 m>80 m es kommt zum Unfall
b) Der zurückgelete Weg beider Fahrzeuge muß gleich sein
sl=sa
vl*t+30m=-1/2*a*t²+va*t mit t=(va-vl)/a
0=-1/2*a*t²+va*t-vl*t-30
0=-1/2*a*(va-vl)²/a²+va*(va-vl)/a-vl*(va-vl)/a-30
0=-1(2*a)*(va-vl)²+va*(va-vl)/a-vl*(va-vl)/a-30
binomische Formel (x-b)²=x²-2*b*x+b²
(va-vl)²=va²-2*vl*va+vl²
0=-1/(2*a)*(va²-2*vl*va+vl²)+1/a*va²-vl/a*va-vl/a*va+vl²/a-30
0=-1/(2*a)*va²+vl/a*va-1/(2*a)*vl²+1/a*va²-2*vl/a*va+vl²/a-30
0=1/(2*a)*va²-vl/a*va+1/(2*a)*vl²-30
Werte eingesetzt
0=1/(2*6)*va²-15/6*va+1/(2*6)*15²-30
0=1/12*va²-15/6*va-11,25 ist eine Parabel der Form 0=a2*x²+a1*x+ao
Lösung mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio)
va1=-3,973.. m/s fällt weg,weil negativ
va2=33,973 m/s Geschwindigkeit des Autos
Probe: Bremszeit t=(33,9733-15)/6=3,1616 Sekunden
Strecke des LKW´s sl=vl*t+30m=15 m/s*3,1616 s+30m=77,424 m
Strecke des Autos
sa=-1/2*a*t²+va*t=-1/2*6 m/s²*(3,1616 s)²+33,973 m/s*3,1616=77,422 m
passt also
Das Auto darf höchstens va=33,973 m/s=33,973*3600 s/1000=122,3028 km/h schnell sein.
Prüfe auf Rechen- und Tippfehler.
a) man muss im Grunde einfach zeigen, dass das Auto den Lkw noch erreicht bevor das Auto auf 0 abgebremst hat;
Auto:
x1=0,5at^2 +vot+xo
xo=0
LKW:
x2=vt +xo
xo=30m
x1-x2>0
wenn Sie sich treffen, dann gibt es einen Unfall; also gibt es eine Lösung für die Gleichung, dann gibt es einen Unfall, bzw. genauer wenn der LKW mehr Strecke zurücklegen würde, da er beim auftreffen gerade abgebremst haben könnte
0,5at^2 +vo*t-vt-xo>0
0,5at^2+t*(vo-v) -xo>0 vo=126km/h; v=54km/h; a=-6m/s^2
t1/2=...
und mit z.B. einer Skizze zeigen...
die erste positive Zeit...
b) vo kann man als Parameter ansehen und man kann von der Funktion x1-x2, die Nullstellen in Abhängigkeit von vo bestimmen und vo dann so wählen, dass es nur eine Nst. gibt; dann liegt der Maxima(Treffpunkt) auf der t-Achse;
es muss gelten:
D=b^2-4ac=0
D=(vo-v)^2 -4*0,5a(-xo)=0
vo-v=+-√-2axo
nur eine positive Lösung und wenn vo>v ist ein sinnvolles Ergebnis
Setze für sowas eines der beiden Fahrzeuge als ruhendes Objekt. Nehme z.B. den Lastwagen. Dieser sei jetzt mal in Ruhe. Relativ zu dem Lastwagen bewegt sich das Auto ja jetzt mit
Sobald nur es nur noch 30m von dem Lastwagen entfernt ist (der in diesem Bezugssystem ja ruht), bremst es mit -6m/s^2. Der Zusammenhang zwischen Strecke und Beschleunigung unter Berücksichtigung einer Anfangsgeschwindigkeit und Anfangsposition ist:
Dabei ist jetzt also s0 die Strecke (oder hier der Abstand) unmittelbar vor dem Bremsvorgang, also die 30m. Das v0 ist die Geschwindigkeit, die das Auto zu diesem Zeitpunkt hat, also eben die Geschwindigkeit, die oben ausgerechnet wurde (allerdings negativ, da diese den Abstand verkleinert, genau so wie die Beschleunigung).
Die Zeit ist noch unbekannt, aber in der Aufgabe ist nach dem Zusammenstoß gefragt. Das bedeutet, du könntest s=0m setzen (also davon ausgehen, dass der Zusammenstoß stattfindet) und zeigen, dass die Gleichung für t dann eine Lösung ergibt (wenn dies nicht der Fall wäre, gäbe es keinen Zusammenstoß).
Alternativ könntest du natürlich aus relativ zur Straße rechnen, wobei du die oben genannte Gleichung einmal für das Auto und einmal für den Lastwagen mit 30m Vorsprung aufstellst. Ein Zusammenprall wäre dann das Gleichsetzen beider Gleichungen. Auch hier müsstest du wieder zeigen, dass diese Gleichung für t dann mind. eine Lösung hat.
Ansatz ist
1) sl(t)=vl*t+30m Strecke LKW
2) sa(t)=-1/2*a*t²+Va*t Strecke Auto
gleichgesetzt sl(t)=sa(t)
vl*t+30=-1/2*a*t²+va*t a=6 m/s nur den Betrag einstzen,weil das Minuszeichen schon berücksichtigt wurde
0=-1/2*a*t²+Va*t-vl*t-30 hier ist t die Bremszeit des Autos auf die Geschwindigkeit des LKW´s
Bremszeit va=vl=-a*t+va → t=(va-vl)/a
einsetzen und dann die binomische Formel anwenden
(x-b)²=x²-2*b*x+b²
(va-vl)²=va²-2*vl*va+vl²
ausmultiplizieren und dann die Nullstellen der Parabel berechnen
0=a2*x²+a1*x+ao
usw.
Hallo Leoniewenjgf,
mach doch einfach ein t-v- Diagramm. Die Geschwindigkeiten musst Du natürlich in m⁄s umrechnen, damit es nicht Verwirrung stiftet.
LKW: v₁ = 54 km⁄h = 15 m⁄s
PKW: v₂ = 126 km⁄h = 35 m⁄s
Der Abstand verringert sich mit der Differenzgeschwindigkeit
v₂ − v₁ = 20 m⁄s.
Geschwindigkeit ist relativ. Man kann die Fahrbahn als mit −v₁ bewegtes riesiges Laufband betrachten, auf dem der LKW auf der Stelle rollt und sich der PKW mit v₂ − v₁ nähert *).
Das t-v- DiagrammUm diese Differenzgeschwindigkeit geht es im Folgenden. Ihren Anfangswert nenne ich v₀ = v(t = 0).
Beispiel für ein t-v-Diagramm; Anhalteweg eines Zuges
Wie der Name schon sagt, ist hier die horizontale Achse die t- Achse und die vertikale die v- Achse. Die Strecke, die v(t) darstellt, ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten die Anfangsgeschwindigkeit v₀ und die Bremszeit
(1.1) Δt = v₀⁄|a|,
in Zahlen
(1.2) (20 m⁄s)/(6 m⁄s²) = 10⁄3 s.
sind, wobei a die Beschleunigung ist. Die Fläche (Grundseite×Höhe/2) dieses Dreiecks ist der Bremsweg
(2.1) Δx = ½∙v₀∙Δt = ½∙v₀²⁄|a|,
in Zahlen
(2.2) ½∙(400 m²⁄s²)/(6 m⁄s²) = 100⁄3 m = 33⅓ m > 30 m,
d.h., der Bremsweg ist um 3⅓ m länger als der Sicherheitsabstand. Es kommt zur Kollision.
Um das mit gleicher Bremsverzögerung zu vermeiden, muss der PKW enweder früher bremsen (schon in 35 m Abstand) oder von vornherein, langsamer fahren. Um zu berechnen, wie viel langsamer, lösen wir (2.1) nach v₀ auf…
(3.1) v₀ = √{2∙Δx∙|a|}
…und setzen Δx ≤ 30 m. In Zahlen heißt das dann
(3.2) v₀ ≤ √{360 m²⁄s²},
etwas weniger als 19 m⁄s = 68,4 km⁄h, da 19² = 361 ist. Es ist nicht unbedingt angebracht, das Limit auszureizen. Man muss ja nicht unbedingt antitschen. Lieber sollte v₀ noch etwas kleiner sein, z.B. 66 km/h, d.h., der PKW sollte nicht schneller fahren als v₂ = 120 km⁄h.
Anmerkung*) Wir sind im NEWTON- Limes sind (die Geschwindigkeiten sind sehr klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit c), sodass der Unterschied zwischen Differenzgeschwindigkeit und Relativgeschwindigkeit winzig ist.
b) kannst du auch noch über die Zeit aus a) berechnen, also wenn das Auto auftrifft;
das Auto muss ja wenn es auf den LKW trifft, auf 54km/h abgebremst sein, also:
v=vo+at
t von a und v=54km/h, a=-6m/s^2