Muss eine Bürgschaft per Gesetz schriftlich abgeschlossen werden?

https://de.wikipedia.org/wiki/B%C3%BCrgschaft_(Deutschland)

Für die Wirksamkeit der Bürgschaft ist eine Erklärung des Bürgen unter Einhaltung der gesetzlichen Schriftform erforderlich (§ 766 BGB). Der Bürgschaftsvertrag hat alle wesentlichen Bürgschaftsmerkmale zu enthalten: die Benennung der Hauptschuld, den Zahlbetrag und die Bezeichnung des Gläubigers. Die Hauptschuld muss bestimmt, zumindest bestimmbar sein. Wird das Schriftformerfordernis nicht eingehalten, ist die Bürgschaft gemäß § 125 BGB nichtig. Allerdings gelten diese Formvorschriften nicht für die Bürgschaft im Zusammenhang mit Handelsgeschäften, etwa die des Vollkaufmanns nach § 350 HGB, denn der kann dann auch mündlich bürgen. Die Bürgschaft des Kaufmanns ist stets selbstschuldnerisch (§ 349 HGB), weshalb er die Einrede der Vorausklage nicht erheben kann. Er kann in Haftung bereits unabhängig davon genommen werden, ob gegen den Hauptschuldner erfolgreich vorgegangen werden konnte.

Eine Besonderheit besteht für Vollmachten zur Bürgschaftserklärung. Abweichend von § 167 Abs. 2 BGB ist bereits diese formbedürftig, was umso mehr für Blankobürgschaften gilt, bei denen noch keine Forderung/Bürgschaftssumme erklärt ist. Ein Verstoß führt zur Formnichtigkeit, sofern nicht zwischenzeitlich zu den Pflichtangaben konkretisiert. Der Versprechende wird wegen des von ihm gesetzten Rechtsscheins verpflichtet (§ 172 BGB analog).

Das kommt auf die Art der Buergschaft an. (Infolink)
https://www.anwalt.de/rechtstipps/buergschaft
Ist jedoch mehr eine Vertrags (Vereinbarungs) "Sache" als ein staatliches "Gesetz".

Kannst deshalb auch nach Vertragsrechtschutz fuer Buergschaften, Vollmachten usw. (BGB, HGB etc.) fuer mehr Infos googeln.

Nein, nur die Bürgschaftserklärung muss regelmäßig schriftlich erfolgen. Ausnahme ist zB im HGB normiert.

Ja, eine Bürgschaft muss schriftlich geschlossen werden (vgl. § 766 BGB)