Monotonie Vorzeichentabelle Hilfe?

Ich check einfach nicht was mein Lehrer da gemacht hat, und wieso die Monotonie anders ist mit seinner umgeformten Funktion!

Die Funktion(die erste Ableitung) lautet

dann eben die Nst berechnen welche sind: x1/2 = 0 und x3/4= +/-2Wurzel 3

nun was ich nicht verstehe: meine VzT mit der umgeänderten Funktion:

und der Lehrer hat es umgeformt und kommt auf was anderes:

kann wer helfen

Answer 1

[eddiefox]

Hallo,

die Vorzeichentabelle für die Ableitung f'(x) macht nur dann Sinn, wenn f'(x) als Produkt von Termen dargestellt ist, so dass man bei jedem Term die Nullstelle sofort ablesen kann.

In deiner Tabelle ist der Term -2x² - 8 zwar für alle x ∈ ℝ negativ, wie du es in der Tabelle richtig geschrieben hast, aber diese Information nützt dir nichts für das Vorzeichen von f'(x) !

Wenn -2x² - 8 für alle x ∈ ℝ negativ ist, kann man daraus nicht schließen,
dass für alle x ∈ ℝ der Term

$\frac{1}{2}\ +\ \frac{-2x^2-8}{\left(x^2-4\right)^2}$

also die Ableitung f'(x) negativ ist. An dem Term über dieser Zeile kann man das Vorzeichen nicht ablesen. Man braucht f'(x) als Produkt. Es gilt

$f'\left(x\right)\ =\ \frac{x^2\left(x^2-12\right)}{2\left(x^2-4\right)^2}\ =\ \frac{x^2\left(x-2\sqrt{3}\right)\left(x+2\sqrt{3}\right)}{2\left(x^2-4\right)^2}$

In dieser Form hat man nur ein Produkt von Termen, wo man die Nullstellen und damit die Vorzeichen der Terme sofort ablesen kann.

Den Nenner kann man bis auf die Definitionslücken x = 2 und x = -2 "vegessen", da er für alle x ∈ ℝ\{-2, 2} positiv ist.

Der Term x² ist auch für alle x ≠ 0 positiv.

Es genügt also, die Vorzeichentabelle für das Produkt

$\left(x+2\sqrt{3}\right)\left(x-2\sqrt{3}\right)$

aufzustellen und daraus auf das Vorzeichen von f'(x) zu schließen.

Genau das hat der Lehrer gemacht.

(Er hat noch die Terme x² und den Nenner mit berücksichtigt, hätte sich das aber auch sparen können).

Gruß